È la parte della fisica che studia il movimento dei corpi, o le condizioni perché questi siano in equilibrio.
La meccanica permette di capire sia come costruire un ponte in modo che non crolli, sia come mettere in orbita un satellite artificiale.
È quella parte della fisica che studia le condizioni di equilibrio di un corpo o di un insieme di corpi.
La statica è fondamentale in ingegneria meccanica e architettura: ogni costruzione (casa, palazzo, ponte, viadotto…) e ogni oggetto complesso (struttura portante di un’automobile, di un frigorifero, di una cucina componibile…) deve essere progettato secondo le leggi della statica.
Parte della meccanica che descrive il moto dei corpi, senza studiare qual è la causa che provoca tale moto.
È la parte della meccanica che introduce allo studio dei moti.
Parte della meccanica che studia le relazioni tra il movimento e le cause che lo producono.
È il completamento della meccanica, che raccoglie le conoscenze acquisite in cinematica e statica.
Quando un oggetto è molto piccolo rispetto all’ambiente in cui è inserito e al quale lo si vuole riferire, può essere considerato come un semplice punto. Questo viene chiamato “punto materiale” per distinguerlo dal punto geometrico, che non ha massa e cha dimensioni nulle.
Una nave che attraversa un tratto di mare o un aereo che vola da una città all’altra possono essere considerati come punti materiali. La stessa nave e lo stesso aereo, quando si trovano in porto o nell’hangar, si devono considerare come oggetti estesi.
È la curva costituita dai punti via via occupati da un punto materiale nel suo moto.
La strada è la traiettoria descritta da un’automobile.
Insieme di tre assi cartesiani perpendicolari e di un orologio connessi agli oggetti rispetto al quale si studia il moto di un corpo.
È il moto di un punto materiale la cui traiettoria giace su una retta.
Un sasso lasciato cadere da fermo descrive un moto rettilineo verso il basso.
È un ente matematico descritto da una coordinata di tempo e da una (o più) coordinate di spazio. Serve per localizzare con precisione in che punto ed a che istante è avvenuto un certo fenomeno.
Curva in un diagramma cartesiano che rappresenta sull’asse delle ascisse (orizzontale)) gli istanti di tempo e su quello delle ordinate (verticale) le posizioni del corpo. A ogni istante di tempo si fa corrispondere la posizione del punto occupato dal corpo in quell’istante.
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Relazione tra le posizioni ($s$) di un corpo e i corrispondenti istanti di tempo ($t$) nei quali esso vi passa. Può essere espressa da una tabella, da un grafico oppure da una formula.
Vedi Moto rettilineo uniforme.
È data dalla differenza $s_2 - s_1$ tra la posizione finale $s_2$ di un corpo e la sua posizione iniziale $s_1$.
_Una formica si muove su un righello da disegno. All’inizio si trova sulla tacca che indica 3 cm (posizione $s _1$) e poi si sposta fino a quella che corrisponde a 7 cm (posizione $s 2$). La distanza $\Delta s$ percorsa dalla formica è quindi 7 cm - 3 cm = 4 cm.
È dato dalla differenza $t_2 - t_1$ tra l’istante di tempo $t_2$ che si considera e un istante precedente $t_1$.
È, per così dire, la distanza temporale che separa due istanti di tempo.
Indica la posizione occupata dal punto materiale nell’istante generico $t$.
$s$ è una coordinata misurata rispetto a un punto scelto come origine, e non è detto che indichi la distanza percorsa dal corpo._
Per esempio è la distanza percorsa da un treno da una città ad un’altra.
Indica la posizione occupata dal punto materiale nell’istante in cui iniziamo a studiare il suo moto. Spesso la poniamo eguale a zero, ma non sempre è possibile (o conveniente) farlo.
Per esempio è il luogo di partenza di un treno.
Indica un istante di tempo.
Per esempio è l’ora di arrivo di un treno.
Indica l’istante di tempo da cui si inizia a studiare il moto.
Per esempio l’orario di partenza di un treno.
Si dice di un moto in cui si percorrono distanze uguali in intervalli di tempo uguali (comunque piccoli). Le distanze percorse sono direttamente proporzionali agli intervalli di tempo impiegati a percorrerle.
Un’automobile si muove di moto uniforme quando la lancetta del tachimetro rimane immobile sulla stessa posizione.
Nel moto uniforme, è definita come il rapporto $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ tra la distanza percorsa da un corpo e l’intervallo di tempo impiegato a percorrere tale distanza. Nel Sistema Internazionale si misura in metri al secondo ($m/s$).
Se un corpo percorre 15 m in 3 s, ha una velocità di 5 m/s.
Un moto che è sia rettilineo sia uniforme (cioè con velocità costante). La legge del moto, che si può esprimere da una retta nel diagramma spazio-tempo, è
La luce si muove nel vuoto di moto rettilineo uniforme alla velocità di 3 ⋅ 108 m/s.
Data una retta in un diagramma spazio-tempo, è il rapporto $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ tra l’incremento ($\Delta s$) dell’ordinata della retta e il corrispondente incremento ($\Delta t$) delle ascisse.
Il coefficiente angolare di un grafico spazio-tempo esprime la velocità del corpo. Maggiore è il coefficiente angolare, maggiore è la velocità.
Moto di un corpo la cui velocità varia nel tempo in modo non regolare.
Per esempio il moto di un’automobile nel traffico cittadino.
In un moto qualunque, è uguale alla distanza percorsa $\Delta s$ divisa per l’intervallo di tempo $\Delta t$ impiegato a percorrerla $v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$. Nel Sistema Internazionale si misura in $m/s$.
Se percorriamo la distanza di 200 m in 40 s, diciamo che la nostra velocità media è stata di (200 m/40 s) = 5,0 m/s. Questo dato medio non tiene conto delle accelerazioni o dei rallentamenti che possiamo aver compiuto nel percorrere i 200 m.
È la velocità media calcolata quando l’intervallo di tempo $\Delta t$ è sempre più piccolo. Si misura in $m/s$. Da un punto di vista matematico la velocità istantanea all’istante $t_0$ è la derivata $\dfrac{ds(t)}{dt}$ della funzione $s(t)$ calcolata all’istante $t_0$.
Retta che tocca la curva in un solo punto e ha la stessa inclinazione della curva in quel punto. Il coefficiente angolare della tangente in un punto $t_0$ a un grafico spazio-tempo è la velocità istantanea all’istante $t_0$.
La tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio che passa nel punto di contatto.
Moto di un corpo la cui accelerazione è costante. Le leggi del moto per la posizione e la velocità sono:
In un moto qualsiasi la distanza percorsa si può calcolare dal grafico velocità-tempo. Essa è uguale all’area della superficie racchiusa tra la curva della velocità e l’asse orizzontale dei tempi, e limitata tra l’istante iniziale $t_1$ e quella finale $t_2$.
Nel moto uniformemente accelerato con partenza da fermo la distanza percorsa è uguale all’area di un triangolo; nel moto uniformemente accelerato con partenza in velocità la distanza è uguale all’area di un trapezio.
È definita come il rapporto tra la variazione $\Delta v$ della velocità di un corpo e l’intervallo di tempo $\Delta t$ in cui avviene tale variazione $a_m = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$. Nel sistema Internazionale si misura in $m/s ^2$ (metri al secondo quadrato).
Se un ciclista passa dalla velocità di 11 m/s a quella di 16 m/s in 10 s, la sua variazione di velocità è di (16 -11) m/s = 5,0 m/s e la sua accelerazione media vale (5,0 m/s : 10 s) = 0,50 $m/s ^2$.
È l’accelerazione media calcolata quando l’intervallo di tempo $\Delta t$ diventa sempre più piccolo. Dal punto di vista matematico l’accelerazione istantanea all’istante $t_0$ è la derivata $\dfrac{dv(t)}{dt}$ della funzione $v(t)$ calcolata all’istante $t_0$. Graficamente essa è la pendenza della tangente a un grafico velocità-tempo in un suo punto.
Quando iniziamo a correre aumentiamo molto rapidamente la nostra velocità, ma poi la fatica ci costringe ad accelerare in maniera molto più graduale. Quindi la nostra accelerazione istantanea è grande all’inizio, poi diventa sempre più piccola, fino a diventare negativa quando diminuiamo la velocità.
Ente matematico che descrive le proprietà di un segmento orientato. È caratterizzata da un punto di applicazione, da una direzione e da un verso (quelli del segmento orientato). La sua lunghezza, o intensità, è proporzionale a quella del segmento.
È la retta lungo cui è disposta una freccia. Una direzione può essere percorsa in due versi.
Una freccia e quella opposta hanno la stessa direzione.
È uno dei due sensi in cui ci si può muovere lungo una retta
In una strada a senso unico è permesso soltanto uno dei due versi di percorrenza.
Metodo grafico per sommare due vettori. Si sceglie una freccia rappresentativa del primo vettore; poi si trasporta la freccia che rappresenta il secondo vettore, parallelamente a se stessa, fino ad avere il punto di applicazione sulla punta della prima freccia. Una freccia rappresentativa del vettore risultante inizia sulla coda del primo e ha la punta dove termina il secondo.
Metodo grafico per sommare due vettori, equivalente a quello punta-coda. Si disegnano due frecce rappresentative dei due vettori a partire dallo stesso punto di applicazione O e dalle loro punte si traccia la retta parallela all’altro vettore. In questo modo si ottiene un parallelogramma: la freccia risultante ha il punto di applicazione in O e la punta nel vertice opposto, e rappresenta il vettore somma.
Uno spostamento nel piano o nello spazio viene visualizzato mediante una freccia che ha la stessa direzione e verso dello spostamento e il modulo proporzionale alla lunghezza dello spostamento stesso.
Due spostamenti consecutivi, che hanno stessa lunghezza, stessa direzione e verso opposto, si combinano dando uno spostamento nullo.
Grandezze fisiche caratterizzate da un numero (che ne esprime la misura rispetto a un’unità prefissata), da una direzione e da un verso. Si sommano con il metodo punta-coda (o con quello, equivalente, del parallelogramma). Nella definizione di vettore non interessa il punto di applicazione, in quanto tutte le frecce parallele di eguale misura rappresentano lo stesso vettore.
Grandezze fisiche che sono completamente definite da un numero.
La temperatura è uno scalare. Infatti, quando si dice “ho la febbre, la mia temperatura è di 38 gradi”, si fornisce un’informazione completa, che non ha bisogno di altre specificazioni.
Si effettua con il metodo punta-coda o quello del parallelogramma.
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È quel vettore che, sommato con il secondo termine della differenza, dà come risultato il primo. Si può ottenere anche come somma del primo con l’opposto del secondo.
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$\vec \omega = k \vec a$ è un vettore parallelo ad $\vec a$, che ha lo stesso verso di $\vec a$ se $k$ è positivo e verso opposto se $k$ è negativo. L’intensità di $\vec \omega$ è uguale a quella di $\vec a$ moltiplicata per il valore assoluto di $k$.
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Il valore assoluto del prodotto misto di tre vettori è uguale al volume del parallelepipedo costruito su questi
Procedimento per cui, dato un vettore $\vec b$ e due rette $r$ e $s$ non parallele tra loro, è possibile trovare due vettori disposti lungo $r$ e $s$ in modo che la loro somma sia $\vec b$.
Dati due vettori $\vec a$ e $\vec b$, il loro prodotto scalare $z = \vec a \cdot \vec b$ è un numero dato dal prodotto del modulo di uno dei due vettori per la lunghezza della proiezione, lungo di esso, dell’altro vettore.
Il prodotto scalare $z = \vec a \cdot \vec b$ è positivo quando i due vettori formano un angolo acuto, nullo se $\vec a$ e $\vec b$ sono perpendicolari e negativo se l’angolo tra di essi è ottuso.
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Il lavoro è il prodotto scalare fra i vettori F e u
Dati due vettori $\vec a$ e $\vec b$, il loro prodotto vettoriale $\vec p = \vec a \times \vec b$ è un vettore che ha modulo eguale all’area del parallelogramma definito da $\vec a$ e $\vec b$, direzione perpendicolare ai due vettori e verso dato dalla regola della mano destra.
Il prodotto vettoriale è nullo se i due vettori sono paralleli tra loro e ha modulo massimo quando essi sono perpendicolari.
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Nel prodotto vettoriale $\vec p = \vec a \times \vec b$ si pone il pollice nel verso di $\vec a$ e si dispongono le dita nel verso di $\vec b$: il vettore $\vec p$ esce dal palmo della mano.
Questa è la regola che si usa, di solito, per costruire un sistema di riferimento in tre dimensioni: se si pone il pollice nel verso del semiasse positivo delle $x$ e si stendono le dita nel verso delle $y$ positive, il verso positivo dell’asse $z$ è quello uscente dal palmo della mano.
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Sono i vettori che si ottengono proiettando un vettore $\vec a$ lungo gli assi coordinati di un sistema di riferimento cartesiano.
La somma vettoriale dei due (nel piano) o tre (nello spazio) vettori componenti è uguale al vettore $\vec a$ di partenza.
È un vettore di lunghezza unitaria che punta nel verso positivo di uno degli assi coordinati di un sistema di riferimento cartesiano.
Nel piano si usano i due versori $\vec x$ e $\vec y$. Nello spazio sono necessari tre versori: $\vec x$ e $\vec y$ e $\vec z$
In un sistema cartesiano ortogonale, sono le intensità dei vettori componenti di un vettore dato.
Se il vettore è rappresentato da una freccia che esce dall’origine $O$ del sistema di riferimento, le sue componenti sono proprio le coordinate, in quel sistema di riferimento, del punto in cui esso termina. Le componenti non cambiano se si usa un’altra freccia rappresentativa del vettore.
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È il valore numerico della velocità vettoriale, cioè la sua intensità (o modulo).
Quando diciamo “stiamo viaggiando a 100 km/h” indichiamo la velocità scalare dell’automobile.
È definita come il rapporto
tra il vettore spostamento di un corpo nell’intervallo di tempo $\Delta t$ e l’intervallo stesso. La velocità vettoriale istantanea (ottenuta al limitare quanto $\Delta t$ è piccolissimo) è sempre tangente alla traiettoria del corpo.
Su una nave o un aereo “cambiare rotta” significa modificare la direzione della velocità vettoriale.
È definita come il rapporto
tra la variazione del vettore velocità nell’intervallo di tempo $\Delta t$ e l’intervallo stesso. Per avere l’accelerazione vettoriale istantanea il rapporto deve essere calcolato nel limite in cui $\Delta t$ tende a zero.
L’accelerazione è, in sostanza, la velocità della velocità. Perciò l’accelerazione vettoriale esiste tutte le volte che cambia il vettore velocità. Quindi non soltanto quando cambia la sua lunghezza, cioè la sua intensità, ma anche quando varia la sua direzione.
È il moto di un punto materiale che si muove su una traiettoria circolare in modo che il modulo della sua velocità si mantenga costante:
Gli oggetti che si trovano fermi su una giostra si muovono, rispetto a un osservatore fermo a terra, di moto circolare uniforme.
Intervallo di tempo impiegato da un moto periodico per descrivere un ciclo completo
Il periodo del moto di rotazione della Terra attorno al proprio asse è di circa 24 ore. Quello del moto di rivoluzione della Terra attorno al Sole è di circa 365 giorni.
In un moto periodico, è il numero di ripetizioni complete del moto che avvengono nell’unità di tempo. È uguale all’inverso del periodo del moto stesso:
Per esempio, in un cronometro la lancetta dei secondi compie un giro completo in un minuto: T = 60 s. Ciò significa che in un secondo percorre 1⁄60 di giro completo, per cui la sua frequenza è f = 1⁄60 Hz.
Si tratta dell’unità di misura della frequenza nel Sistema Internazionale. Un moto ha una frequenza di 1 hertz (1 Hz) se descrive un ciclo completo in un secondo.
1 Hz è la frequenza del battito cardiaco di un uomo adulto a riposo (60 pulsazioni al minuto). Dopo uno sforzo il ritmo cardiaco può facilmente salire alla frequenza di 2 Hz (120 pulsazioni al minuto).
Ampiezza di un angolo che stacca su una circonferenza un arco di lunghezza uguale a quella del raggio.
L’angolo di un radiante corrisponde a circa 57° 17’ 45”.
In un moto circolare, è il vettore che congiunge il centro della circonferenza con il punto occupato dal punto materiale.
Se leghiamo un sasso a una corda e facciamo girare il sasso sopra la testa in un moto circolare, il tratto di corda che collega la nostra mano al sasso rappresenta, istante per istante, il raggio vettore del moto del sasso.
In un moto circolare, velocità angolare è data dal rapporto tra l’angolo spazzato dal raggio vettore nel tempo $\Delta t$ e l’intervallo $\Delta t$ stesso:
Nel moto circolare uniforme si ha
Nel progettare un orologio occorre fare in modo che le lancette si muovono con la velocità angolare giusta. La velocità con cui si muove la punta della lancetta, che dipende dalla sua lunghezza, ha un’importanza secondaria.
In un moto su traiettoria curvilinea vi è un’accelerazione anche se il modulo della velocità è costante: infatti il vettore velocità cambia, visto che cambia la direzione. L’accelerazione vettoriale che è responsabile di questo fenomeno è sempre rivolta verso il centro della curva, perciò è detta centripeta. Nel moto circolare uniforme si ha
Nota che, nel descrivere una curva, il manubrio della bicicletta (che è lo strumento che cambia la direzione della bicicletta stessa) viene sempre ruotato verso l’interno della curva.
È un particolare moto oscillatorio. Se un punto materiale si muove di moto circolare uniforme (con velocità angolare $\omega$), la sua ombra proiettata su un diametro si muove di moto armonico. L’accelerazione non è costante, ma è direttamente proporzionale allo spostamento e diretta in senso contrario:
La composizione di due moti rettilinei uniformemente accelerati, entrambi con velocità iniziale nulla, è ancora un moto rettilineo uniformemente accelerato che parte da fermo. La composizione di due moti armonici con la stessa frequenza e stessa estensione è particolarmente interessante in due casi particolari:
Il mouse del computer comanda solo due tipi di movimenti del cursore: uno verticale, verso l’alto o verso il basso, e uno orizzontale, a destra o a sinistra. Tutti i complessi movimenti che possiamo ottenere sulla schermo sono ottenuti dalla combinazione di moti orizzontali o verticali di diversa lunghezza o velocità.
Le forze sono le cause che provocano cambiamenti di velocità negli oggetti.
Un magnete attira un pezzo di ferro; il getto d’aria di un asciugacapelli allontana un pezzo di carta; un’onda del mare ci spinge verso riva. In tutti questi casi tra i due oggetti si esercita una forza.
È uno strumento costituito da una molla che viene allungata dall’azione di una forza. In questo modo permette di misurarne l’intensità, che è direttamente proporzionale all’allungamento della molla.
Le comuni bilance casalinghe per pesare gli alimenti e le persone sono dei dinamometri, perché funzionano mediante, la compressione di una molla posta all’interno della bilancia stessa.
È l’unità di misura della forza nel Sistema Internazionale. Un corpo con una massa di 1 kg viene attirato verso il basso da una forza-peso di 9,81 N.
Un sollevatore di pesi che sostiene un bilanciere di 250 kg di massa controbilancia una forza peso di circa 2450 N.
Le forze sono dei vettori, perché, oltre a essere definite da una intensità, una direzione e un verso, si sommano come i vettori, cioè con la regola “punta-coda” o con quella del parallelogramma.
Le rotazioni, per esempio, non sono vettori perché non hanno le stesse proprietà matematiche dei vettori. La forza, invece, soddisfa tali proprietà.
È il punto in cui agisce la forza e da cui parte la freccia che rappresenta tale forza.
Le forze sono vettori applicati, perché il punto di applicazione determina l’effetto delle forze stesse.
È la condizione nella quale un corpo (o un insieme di corpi) inizialmente in quiete rimane in quiete.
Un’auto parcheggiata su una strada in discesa, con il freno a mano inserito, è in una situazione di equilibrio. Se il freno a mano si rompe la condizione di equilibrio non è più soddisfatta, e l’auto inizia a scendere.
È quella parte della fisica che studia le condizioni di equilibrio di un corpo o di un insieme di corpi.
La statica è fondamentale in ingegneria meccanica e architettura: ogni costruzione (casa, palazzo, ponte, viadotto…) e ogni oggetto complesso (struttura portante di un’automobile, di un frigorifero, di una cucina componibile…) deve essere progettato secondo le leggi della statica.
Un punto materiale è in equilibrio se la somma di tutte le forze applicate è uguale al vettore nullo.
È costituito da un oggetto che limita la libertà di movimento di un altro oggetto.
Il pavimento è un vincolo: senza di esso noi cadremmo al piano di sotto. Anche le pareti sono vincoli, che ci impediscono di uscire dalla stanza.
È la forza esercitata da un vincolo su un oggetto che agisce su di esso. Questa forza è sempre uguale e opposta alla forza a cui deve reagire.
Per sostenere il peso di un gatto che vi cammina sopra, il pavimento deve esercitare su di esso una forza vincolare piuttosto piccola. Se sul pavimento è appoggiato un mobile pieno di libri, la forza vincolare (dovuta alla deformazione del pavimento) necessaria per equilibrarne il peso è molto più grande.
Un punto materiale vincolato è in equilibrio se la somma di tutte le forze applicate (comprese quelle vincolari) è uguale a zero.
È una superficie piana inclinata rispetto alla direzione orizzontale. Spesso viene utilizzato per fare risalire oggetti pesanti lungo un dislivello. Se il piano è lungo $l$ e alto $h$, la forza $P_2$ (parallela al piano e rivolta verso l’alto) che è necessario applicare a un punto materiale di peso $\vec P$ per mantenerlo in equilibrio ha modulo
Una strada che permette di superare un dislivello e lo scivolo che porta a un garage sotterraneo sono esempi di piani inclinati.
È un oggetto che non si può deformare, qualunque siano le forze applicate.
Lo sportello di un mobile, una penna, il manubrio della bicicletta, una scala sono corpi rigidi rispetto alle forze che agiscono normalmente su di essi.
Descrive l’effetto di rotazione dovuto alla forza. Data la forza $\vec F$ (applicata nel punto $P$) e un punto $A$, il momento della forza $\vec F$ (o momento torcente) rispetto ad $A$ è il vettore
dove $\vec r$ è il vettore che congiunge $A$ con $P$. Se $\alpha$ è l’angolo formato dai vettori $\vec r$ e $\vec F$, il modulo di $\vec M$ risulta
Lo stesso effetto di rotazione, che è misurato proprio dal momento torcente, può essere ottenuto con una forza grande applicata vicino al centro di rotazione, o con una forza piccola applicata a grande distanza.
È il modulo $r_{\perp}$ della proiezione del vettore $\vec r$ (vedi il punto precedente) nella direzione perpendicolare a $\vec F$.
In maniera equivalente, il braccio è la distanza tra il punto $P$ (rispetto al quale si calcola il momento) e la retta che contiene la forza $F$.
Descrive la causa della rotazione dovuto a una coppia di forze $F_1$ e $F_2$ uguali e opposte applicate rispettivamente nei punto $P_1$ e $P_2$. Se indichiamo con $\vec r _{12}$ il vettore che congiunge $P_2$ con $P_1$, il momento della coppia è dato dal vettore
$\vec M$ può essere calcolato anche, con lo stesso risultato, utilizzando $\vec F$ e il vettore $\r _{12}$ che congiunge $P_1$ con $P_2$. La distanza tra le rette d’azione delle due forze $F_1$ e $F_2$ si chiama braccio della coppia.
La chiave a T, utilizzata per svitare i bulloni, permette di esercitare un momento di notevole intensità grazie al fatto che il braccio della coppia è piuttosto grande.
Si chiama così un vettore, come il vettore forza, per il quale è importante il punto di applicazione.
A un vettore applicato corrisponde una ben determinata freccia, non tutte le frecce che hanno la stessa direzione, stesso verso e uguale intensità.
È la retta su cui giace la freccia che rappresenta un dato vettore.
Il punto di applicazione di una forza può essere spostato lungo la sua retta di azione senza che l’effetto cambi.
Due o più forze che hanno la stessa retta d’azione si sommano dando, come risultante, una forza pari alla loro somma vettoriale e con la stessa retta di azione.
Nel tiro alla fune i giocatori delle due squadre esercitano forze che hanno la stessa retta d’azione (visualizzata dalla fune). La forza complessiva, se diversa dal vettore nullo, si esercita anch’essa nella direzione della fune.
Sono forze le cui rette di azione si intersecano in un punto $P$. Il loro effetto totale è equivalente a quello di un’unica forza uguale alla loro somma vettoriale e applicata, per esempio, in $P$.
Sono due o più forze, parallele tra loro e con lo stesso verso, applicate allo stesso corpo rigido. Nel caso di due forze di intensità $F_1$ e $F_2$, applicate nei punti $P_1$ e $P_2$
, la forza totale ha la loro direzione, il loro verso mentre il modulo è $F = F_1 + F_2$. Il punto di applicazione $P$ della forza risultante può essere posto sul segmento $\overline{P_1 P_2}$ in modo che valga
I due motori di un bireattore esercitano sull’aereo due forze parallele e della stessa intensità. Esse sono equivalenti a un’unica forza uguale alla loro somma e applicata lungo la linea centrale dell’aereo.
È il punto in cui è applicata la forza peso che agisce su un oggetto rigido.
Quando trattiamo un oggetto reale come un punto materiale prendiamo in considerazione non tutto l’oggetto, ma solo il suo baricentro.
Un corpo rigido è in equilibrio se:
Se la somma delle forze non è uguale al vettore nullo, il corpo tende a traslare. Se la risultante dei momenti non è uguale a zero, il corpo tende a ruotare. In entrambi i casi, non è in equilibrio.
Un corpo è in una condizione di equilibrio stabile se, dopo una piccola perturbazione, tende a ritornare nella posizione di partenza. Instabile se, dopo la perturbazione, esso si sposta fino a raggiungere una nuova posizione di equilibrio. Indifferente se anche la nuova situazione in cui si trova è in equilibrio.
È una forza che si oppone al movimento dei corpi. Si esercita tra due superfici in moto che siano in contatto tra loro. Si distingue tra attrito radente e attrito volvente.
Se lanciamo una palla sul pavimento vedremo che dopo un poco si ferma, perché viene arrestata dalle forze di attrito volvente dinamico che si esercitano tra la palla e il pavimento, e tra la palla e l’aria.
Si esercita quando un corpo striscia su una superficie. Se la forza che preme il corpo sulla superficie è $F{\perp}$, la forza di attrito $F{at}$ è data dalla formula
dove $\mu _d$, che si chiama coefficiente di attrito dinamico, è una proprietà del corpo e delle superfici che sono a contatto.
L’attrito radente dinamico è quella forza, che agisce tra le ganasce e il corpo del freno, e che rallenta l’automobile quando si frena.
Si esercita quando un corpo è appoggiato su una superficie senza muoversi. Se la forza che preme il corpo sulla superficie è $F{ \perp}$, la massima forza di attrito $F{at}$ che può esistere tra il corpo e la superficie è data dalla formula
dove $\mu _s$, che si chiama coefficiente di attrito statico, è una proprietà del corpo e della superficie che sono a contatto. A parità di caratteristiche fisiche, è maggiore del coefficiente di attrito dinamico.
L’attrito radente statico è quella forza, che agisce tra le ganasce e il corpo del freno, che mantiene ferma l’automobile quando è inserito il freno a mano.
Si ha quando un corpo rotola su una superficie. Se il raggio del corpo è $r$ e $F{\perp}$ è la forza che preme su di esso, la forza di attrito volvente $F{at}$ è data dalla formula
_L’attrito volvente è quello che si esercita tra le ruote della bicicletta e la strada. Per ragioni dimensionali, $\mu v$, non è un numero puro, ma si misura in metri.
È la parte della meccanica che studia le cause del moto. Il suo scopo è determinare il moto di un oggetto quando si conoscono le forze che agiscono su di esso.
Un giocatore di basket che tira a canestro risolve in maniera inconscia un problema di dinamica: stabilire quale forza (in direzione e in verso) deve applicare alla palla per fare in modo che questa entri nel canestro.
È un composto di due affermazioni:
Dopo essere stato colpito dalla mazza, il dischetto da hockey su ghiaccio attraversa tutto il campo da gioco senza essere rallentato in maniera apprezzabile. Il ghiaccio esercita un attrito molto piccolo e anche la resistenza dell’aria è trascurabile. Quindi esso si muove a velocità costante, come è previsto dal principio di inerzia.
Si dicono inerziali quei sistemi di riferimento nei quali vale il principio di inerzia. Un sistema che ha l’origine nel centro del Sole e i tre assi che puntano verso tre stelle molto lontane è un sistema inerziale. Sono inerziali anche tutti i sistemi che si muovono di moto uniforme rispetto al primo. In questi sistemi lo studio della fisica è molto semplice. In particolare, il primo e il secondo principio della dinamica sono validi soltanto in sistemi inerziali.
Effetti che si avvertono in sistemi di riferimento non inerziali, in cui si rilevano accelerazioni le cui cause non sono forze reali.
Tutte le volte che hai difficoltà a mantenere l’equilibrio quando viaggi in autobus stai avvertendo l’effetto di una forza apparente (a meno che qualcuno non ti stia urtando)
Stabilisce che le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali che si muovono tra di loro di moto rettilineo uniforme.
Quando viaggiamo in treno, a velocità costante, su un binario rettilineo, compiamo gli stessi gesti che ci sono abituali in casa nostra. Il comportamento fisico dei vari oggetti non cambia per il fatto di trovarci su un mezzo in movimento.
Permettono di determinare il comportamento di un sistema fisico in un particolare riferimento inerziale se si conoscono il movimento dello stesso sistema in un altro riferimento inerziale e il moto relativo dei due sistemi. Nel caso in cui i due riferimenti utilizzino la stessa unità di misura e la stessa origine per gli istanti di tempo e abbiano le origini coincidenti nell’istante $t = t’ = 0$ le leggi di trasformazione sono
dove $\vec v$ è la velocità del riferimento $S’$ rispetto a $S$.
In un sistema di riferimento inerziale, un corpo soggetto a una forza costante (in intensità, direzione e verso) si muove con accelerazione costante.
Studiando l’azione di una forza costante, si vede sperimentalmente che il rapporto tra l’intensità $F$ della forza agente su un punto materiale e quella dell’accelerazione $a$ che esso subisce è proprio la massa $m$ del corpo.
Quindi la massa si dice “inerziale” perché è una misura della resistenza che un certo corpo oppone al fatto di essere accelerato.
Una biglia, che ha una piccola massa, può essere accelerata in maniera visibile dalla semplice forza di un dito. Per accelerare alla stessa maniera una palla da bowling occorre una forza molto più intensa.
Stabilisce che l’accelerazione di un punto materiale è, in ogni istante, direttamente proporzionale alla forza applicata; forza e accelerazione hanno sempre la stessa direzione e lo stesso verso. La costante di proporzionalità è la massa del corpo. Tutto ciò si riassume nella formula
Questa legge non è equivalente a ciò che abbiamo ricordato alla voce “massa inerziale” sull’azione di una forza costante: infatti, essa ci dice che se la forza varia nel tempo anche l’accelerazione è variabile. Però, istante per istante, $\vec F$ e $\vec a$ sono legati dalla legge $\vec F = m \vec a$ .
Due o più forze che agiscono contemporaneamente sullo stesso punto materiale provocano su di esso la stessa accelerazione che verrebbe causata da una sola forza $\vec F _tot$ eguale alla loro somma vettoriale. Quindi l’accelerazione $\vec a$ del punto materiale è data dalla formula
Una forza ha una intensità di 1 N se imprime a un corpo di massa 1 kg un’accelerazione di 1 m/s2.
Afferma che quando un oggetto A esercita una forza su un oggetto B, anche B, a sua volta, esercita una forza su A. Le due forze hanno la stessa intensità e direzione ma versi opposti.
È il moto a cui è soggetto un corpo che cade sotto l’effetto della forza-peso, se è possibile trascurare l’attrito con l’aria.
L’orologio che ci scivola dalla mano scende verso il suolo con un moto che è, con ottima approssimazione, di caduta libera. Per una foglia, invece, l’effetto dell’attrito con l’aria è fondamentale: il suo moto è molto diverso da quello di caduta libera.
La forza-peso (o peso) che agisce su un corpo di massa inerziale è data dalla formula
Quindi il peso di un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa inerziale, ma peso e massa non sono la stessa cosa.
È l’accelerazione (vettoriale) a cui sono soggetti tutti i corpi su cui agisce la forza-peso. In una certa zona dello spazio è uguale per tutti i corpi. Sulla Terra è rivolta (per definizione) verso il “basso”. Il suo modulo varia con la posizione geografica e con l’altezza rispetto al suolo.
Il valore medio di g sulla superficie terrestre è circa 9,8 m/s2. Ai poli diventa 9,832 m/s2, mentre all’equatore si riduce a 9,780 m/s2.
Un punto materiale scivola lungo un piano inclinato di lunghezza $l$ e altezza $h$ con un’accelerazione che ha modulo
Se h/l è piccolo il punto materiale accelera lentamente. Al contrario, se l’inclinazione del piano è accentuata, il rapporto h/l è vicino a 1 e il modulo di a si avvicina a quello di g.
È il risultato della composizione di due moti contemporanei: uno rettilineo uniforme in direzione orizzontale e uno rettilineo uniformemente accelerato (con accelerazione di modulo g) in direzione verticale. Ne segue che la traiettoria seguita dal proiettile è una parabola.
È possibile studiare le varie forme della traiettoria al variare dell’angolo di partenza lanciando un oggetto piuttosto piccolo e denso come, per esempio, un sasso.
È la distanza tra il punto in cui viene lanciato un proiettile (con velocità iniziale inclinata verso l’alto rispetto l’orizzonte) e il punto in cui esso ritorna al suolo.
All’aumentare dell’angolo α formato con il terreno, dapprima la gittata, ha un massimo quando α è uguale a 45° e poi ritorna a diminuire, fino a diventare uguale a zero quando il proiettile è lanciato direttamente verso l’alto (in questo caso esso ricade sul punto da cui era partito).
Un proiettile lanciato fuori dall’atmosfera terrestre (in modo da non risentire della resistenza dell’aria) e in direzione orizzontale con una velocità sufficiente non ricade più al suolo ma descrive un’orbita attorno alla Terra. In questo modo diventa un satellite.
La Luna è un satellite della Terra perché la sua velocità tangenziale è tale da mantenerla in orbita e da non farla cadere sulla Terra.
Le traiettorie seguite dai satelliti sono linee chiuse chiamate ellissi. Come caso particolare si ha l’orbita circolare.
Quella seguita dalla Stazione Spaziale Internazionale (ISS) nel suo moto attorno alla Terra è un’orbita circolare.
È la traiettoria lungo cui si allontana un proiettile lanciato con una velocità sufficiente a farlo allontanare indefinitamente dal pianeta da cui è partito.
È quella particolare traiettoria che separa le infinite possibili orbite ellittiche dalle infinite possibili traiettorie iperboliche. È descritta da un proiettile lanciato con minima velocità sufficiente a non farlo ricadere sul pianeta da cui è partito.
È la forza che mantiene un corpo di massa $m$ in moto circolare (su una circonferenza di raggio $r$) con velocità scalare costante $v$ (cioè o con una velocità angolare $\omega = \dfrac{v}{r}$ costante). È diretta verso il centro della traiettoria circolare e ha modulo
Nel moto di un satellite attorno alla Terra la forza centripeta è data dalla forza di gravità. Per un’automobile che descrive una curva è data dall’attrito degli pneumatici sull’asfalto. Per un sasso che ruota legato a una corda la forza centripeta è data dalla trazione della corda.
È una forza apparente che avvertiamo se ci troviamo in un sistema di riferimento in rotazione (che è un sistema di riferimento non inerziale).
Quando ci troviamo su una giostra che ruota ad alta velocità abbiamo l’impressione che una forza ci spinga verso l’esterno. In realtà il nostro corpo tenderebbe a muoversi (per il principio di inerzia) di moto rettilineo uniforme e la forza che avvertiamo è quella, esercitata su di noi dalla giostra, che fa incurvare la nostra traiettoria.
La forza $\vec F$ esercitata da una molla compressa o allungata è direttamente proporzionale all’entità $x$ della deformazione, ma verso opposto. In formule:
La forza elastica è alla base del funzionamento del dinamometro, di molte bilance, degli ammortizzatori dei mezzi di trasporto, dei respingenti del treno, degli accelerometri, ecc.
Si tratta della costante $k$ che compare nella legge di Hooke. È una costante caratteristica di ogni molla, che esprime quanto essa è facile o difficile da deformare. Si misura in N/m.
Una molla con una piccola costante elastica è facile da deformare. Invece, le molle degli ammortizzatori di un mezzo di trasporto hanno valori molto grandi di $k$.
Un corpo soggetto alla forza elastica si muove di moto armonico. Il periodo dell’oscillazione è
Se le oscillazioni non sono troppo ampie, un corpo attaccato a una molla, l’estremità di una lamina vibrante e un pendolo sono soggetti a forze di tipo elastico e quindi si muovono di moto armonico.
Si tratta di una pallina di massa $m$ legata a un filo (supposto inestensibile) di lunghezza $l$. Per oscillazioni la cui ampiezza $s$ è piccola rispetto a $l$, la forza che agisce sulla pallina è di tipo elastico:
Quindi il pendolo oscilla di moto armonico con periodo
che non dipende nè dall’ampiezza dell’oscillazione (purchè sia piccola) nè dalla massa $m$.
Se aumentiamo $l$ di nove volte, il periodo $T$ triplica: se, invece, manteniamo $l$ costante e ci spostiamo su un pianeta che abbia un’accelerazione di gravità eguale al quadruplo di quella terrestre, il periodo $T$ dimezza.
Una legge di conservazione afferma che durante lo svolgimento di un fenomeno esiste una grandezza che rimane costante.
Tutti i giorni osserviamo la validità della legge di conservazione della massa: se rompiamo un oggetto in un numero qualsiasi di frammenti, la somma delle loro masse è sempre uguale alla massa dell’oggetto originale. La massa non può essere creata dal niente e non può essere distrutta: quindi si conserva.
Il lavoro compiuto da una forza costante $\vec F$ applicata a un corpo è uguale al prodotto scalare $\vec F \cdot \vec s$ tra la forza e il vettore spostamento $\vec s$ del corpo. Ciò equivale al modulo dello spostamento per la proiezione della forza nella direzione dello spostamento (o al prodotto del modulo della forza per la proiezione dello spostamento nella direzione della forza). Il lavoro è una grandezza scalare che, nel sistema S.I., si misura in $N \cdot m$. Questa unità di misura si chiama joule (J).
_Quando i vettori forza e spostamento sono paralleli, il lavoro è dato semplicemente dal prodotto delle loro intensità. Quando sono perpendicolari, il lavoro è uguale a zero. Il lavoro è positivo (lavoro motore) quando l’angolo tra $\vec F$ e $\vec s$ è acuto, negativo (lavoro resistente) quando tale angolo è ottuso.
In un diagramma che ha lo spostamento sull’asse delle ascisse e l’intensità della forza su quello delle ordinate., il lavoro compiuto da una forza non costante è dato dall’area della parte di piano compresa tra l’asse degli spostamenti, il grafico dell’intensità della forza e due rette parallele all’asse delle ordinate che definiscono il valore iniziale e quello finale della posizione dell’oggetto.
Se due corpi interagiscono con forze uguali e opposte di intensità $\vec F$ e, nel corso dell’interazione, la variazione della loro distanza è data dal vettore $\Delta \vec r$, il lavoro fatto dalle forze di interazione nel corso di tale spostamento è
Questa formula vale soltanto se, nel corso dell’intervallo di tempo considerato, $\vec F$ e $ - \vec F$ non variano.
Sono le forze per le quali il lavoro fatto in un determinato spostamento non dipende dal cammino seguito, ma soltanto dal punto di partenza e da quello di arrivo. Le forze non conservative si dicono dissipative.
La forza-peso, la forza di Newton e la forza elastica sono forze conservative. La forza di attrito è invece dissipativa
È uguale al rapporto tra il lavoro $\Delta W$ compiuto o assorbito da un sistema fisico in un intervallo di tempo $\Delta t$ e l’intervallo stesso:
Nel Sistema Internazionale la potenza si misura in J/s. Questa unità di misura si chiama anche watt (W).
La potenza è la rapidità con cui una forza compie un lavoro.
L’energia cinetica di un corpo di massa $m$ che si muove con velocità $v$ è definita come
Il lavoro compiuto su un corpo libero di muoversi (cioè non sottoposto ad altre forze tranne quella che compie lavoro) è uguale alla variazione della sua energia cinetica:
_Pensiamo a una biglia che scivola (praticamente senza attrito) sul panno di un biliardo con una certa energia cinetica $K _i$. Se facciamo un lavoro W su di essa spingendola, alla fine la sua energia cinetica $K _f$ sarà uguale alla somma di $K i$ e di $W$
Lavoro compiuto da una forza conservativa quando un corpo passa da un punto a un altro scelto come livello “zero”.
Se tutte le forze che agiscono su un corpo sono conservative, la somma dell’energia cinetica e di quella potenziale resta costante:
Immaginiamo di avere una palla perfettamente elastica che cade, partendo dalla quiete, da una certa altezza. All’inizio c’è solo energia potenziale gravitazionale; mentre cade, questa energia potenziale diminuisce, trasformandosi in energia cinetica. Quando la palla colpisce il pavimento comincia a deformarsi: la sua energia cinetica si trasforma in energia potenziale elastica. Quando la palla è giunta alla massima compressione la sua energia cinetica è nulla, l’energia potenziale gravitazionale assume il valore minimo e quella elastica è massima. In ciascuno di questi istanti che seguiranno il rimbalzo, l’energia totale, calcolata come (energia cinetica) + (energia potenziale elastica) + (energia potenziale gravitazionale) ha sempre lo stesso valore.
È un dispositivo che permette di equilibrare una forza $\vec F$ con un’altra forza diversa da $ - \vec F$.
Il piano inclinato è un esempio di macchina semplice.
È una macchina semplice, formata da un disco cilindrico che ruota attorno al suo centro, che permette di equilibrare una forza rivolta verso l’alto con un’altra forza, uguale in modulo e con lo stesso verso.
La carrucola non permette di “guadagnare” forza, come la leva, ma consente di issare un carico in modo più comodo.
Si tratta di un’asta rigida libera di ruotare attorno a un punto fisso, detto fulcro. Se $F_m$e $F_r$ sono le intensità, rispettivamente, della forza motrice e della forza resistente applicate ai due estremi della leva, a distanze $m$ e $r$ dal fulcro, vale la relazione
La bilancia a bracci eguali è una leva con $m = r$. La pinza e la tenaglia sono altri due esempi di leve.
In un sistema isolato l’energia totale (cioè la somma dell’energia meccanica e di tutte le altre forme di energia) si conserva.
Una palla reale lasciata cadere da ferma non ritorna alla quota di partenza, ma giunge a un’altezza inferiore. Ciò significa che una parte della sua energia meccanica viene dispersa. La legge di conservazione dell’energia totale dice che l’energia meccanica “perduta” si deve ritrovare sotto forma di energia interna della palla, del pavimento e dell’aria.
Per definizione, la quantità di moto di un corpo di massa $m$ che si muove con velocità $\vec v$ è data dal prodotto
Nel Sistema Internazionale la quantità di moto si misura in $kg \cdot \dfrac{m}{s}$.
La quantità di moto è un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso della velocità del corpo. La sua intensità è data dal prodotto della massa del corpo per la sua velocità scalare.
Un sistema fisico si dice isolato se su di esso non agiscono forze esterne. Il sistema formato da una massa appesa a una molla non è isolato, perché su di esso agisce la forza-peso. Invece un sistema massa-molla che si trova in posizione orizzontale su una superficie priva di attrito è isolato, perché la risultante delle forze applicate su di esso (forza-peso verso il basso e reazione vincolare della superficie di appoggio verso l’alto) si annullano.
La forza con cui la molla agisce sulla massa e quella (eguale e opposta) con cui la massa agisce sulla molla non devono essere prese in considerazione, perché sono forze interne al sistema.
In un sistema isolato la quantità di moto totale (cioè la somma vettoriale delle quantità di moto delle singole parti che lo compongono) non varia nel tempo. La conservazione della quantità di moto totale può essere dimostrata a partire dal secondo e dal terzo principio della dinamica.
Se appoggiamo su un tavolo ben levigato due monete uguali e le lanciamo l’una contro l’altra con la stessa velocità scalare, vediamo che, con l’urto, entrambe si fermano. In effetti, all’inizio il modulo della quantità di moto totale è $mv + m ( -v) = 0$ e dopo l’urto questa grandezza è rimasta invariata:
Se una forza $\vec F$ agisce per un intervallo di tempo $\Delta t$ su un punto materiale che ha una quantità di moto iniziale $\vec p_i$, la quantità di moto finale $\vec p_f$ dello stesso corpo è deducibile dalla formula
Il prodotto $\vec F \Delta t$ è chiamato impulso $\vec I$della forza $\vec F$. Questo teorema può essere dimostrato grazie al secondo principio della dinamica.
Possiamo aumentare allo stesso modo la quantità di moto di un corpo applicando una certa forza nel corso di un dato intervallo di tempo, oppure applicando una forza dieci volte più intensa per una durata dieci volte più breve.
In tutti i fenomeni di urto si conserva la quantità di moto totale dei corpi che interagiscono. Non è detto, invece, che si conservi l’energia cinetica totale. Se ciò accade, urto si dice elastico. Altrimenti l’urto è anelastico.
Gli urti che osserviamo tra le biglie di un biliardo sono con ottima approssimazione elastici. Se, invece, i due oggetti che collidono rimangono uniti insieme l’urto è sicuramente anelastico.
Se una biglia di massa $m$ e velocità $\vec v$ urta in modo elastico una seconda biglia che ha la stessa massa e che è ferma, le direzioni lungo cui i due oggetti si muovono dopo l’urto sono sempre perpendicolari tra loro.
Dato un corpo puntiforme di massa $m$che si trova in un punto $P$ e si muove con velocità $\vec v$, il suo momento angolare rispetto a un secondo punto $O$ è dato da
dove $\vec R$ è il vettore che congiunge $O$ con $P$ e $\vec p = m \vec v$ è la quantità di moto del corpo.
Secondo le proprietà del prodotto vettoriale, la direzione e il verso di $\vec L$ sono date dalla regola della mano destra, mentre il suo modulo è uguale all’area del parallelogramma definito dalle frecce che rappresentano $\vec R$ e $\vec p$ (disegnate a partire da uno stesso punto scelto ad arbitrio).
Quando la risultante dei momenti delle forze esterne che agiscono su un sistema è uguale al vettore nullo, il momento angolare totale del sistema (cioè la somma vettoriale dei momenti angolari delle singole parti che lo compongono) non varia.
Se due trottole che girano attorno al proprio asse si urtano, possono variare la velocità angolare della propria rotazione. Però in assenza di attriti i loro momenti angolari totali prima e dopo l’urto sono eguali.
Quando la risultante $\vec M$ dei momenti delle forze esterne che agiscono su un sistema non è uguale a zero, il momento angolare varia secondo la legge
dove $\Delta t$ è l’intervallo di tempo nel corso del quale il momento torcente totale $\vec M$ ha agito sul sistema.
Per un corpo rigido composto dalle masse $\Delta m_1, \space \Delta m_2, \space …, \space \Delta m_n$ che si trovano rispettivamente a distanza $R_1, \space R_2, \space …, \space R_n$ da un asse, si definisce il momento d’inerzia $I$ del corpo rispetto a tale asse mediante la formula
Il momento angolare del corpo rigido rispetto all’asse considerato ha intensità
dove $\omega$ è la velocità angolare di rotazione del corpo rigido attorno all’asse considerato.
Nel pattinaggio e nei tuffi gli atleti modificano il valore del proprio momento d’inerzia cambiando la posizione delle braccia, delle gambe e del busto. In questo modo riescono a variare la propria velocità angolare di rotazione.
L’ascissa del centro di massa di un sistema di punti materiali di masse $m_1, \space m_2, \space …, \space m_n$ che si trovano in punti di ascissa $x_1, \space x_2, \space …, \space x_n$ è data dalla formula
espressioni analoghe valgono per le coordinate $y$ e $z$. Il centro di massa di un sistema isolato si muove di moto rettilineo uniforme. Se il sistema non è isolato, il suo centro di massa si muove come un punto materiale che contiene tutta la massa del sistema e che è sottoposto alla forza esterna risultante che agisce sul sistema.
Se un proiettile, che segue una traiettoria parabolica, esplode in volo, il centro di massa dei suoi frammenti prosegue nella stessa traiettoria.
Dato un istante di tempo prefissato detto per convenzione “istante iniziale”, le condizioni iniziali sono l’insieme dei valori delle posizioni e delle velocità, in quell’istante, di tutti i corpi che costituiscono il sistema che stiamo studiando.
Conosciute le condizioni iniziali e le leggi del moto, in linea di principio possiamo determinare tutta l’evoluzione (passata e futura) del sistema in esame.
Il termine indica il comportamento di sistemi fisici il cui moto, pur essendo regolato da leggi precise (deterministiche), risente così tanto di eventuali, piccolissime imprecisioni nella determinazione delle condizioni iniziali da risultare, su lunghi periodi, impredicibile (aleatorio).
Dal punto di vista matematico un sistema caotico è prevedibile quanto qualunque altro. Ma, in fisica, tutte le grandezze sono conosciute a meno di un errore. Così anche le condizioni iniziali non sono mai conosciute perfettamente. In un sistema caotico due condizioni iniziali che, alla luce delle nostre misure, ci sembrano identiche possono portare a due evoluzioni completamente diverse.
Secondo questa idea, proposta nei tempi moderni da Nicolò Copernico nel 1532, la Terra non è al centro dell’Universo, ma è un pianeta che, come gli altri, orbita attorno al Sole.
L’impressione che tutti i corpi celesti ruotano attorno alla Terra è soltanto un’illusione dovuta alla scelta di un particolare sistema di riferimento: quello in cui la Terra è ferma.
Afferma che le orbite descritte dai pianeti attorno al Solo sono delle ellissi di cui il Sole occupa uno dei fuochi.
Questa legge non vale solo per le orbite dei pianeti attorno al Sole, ma si applica alla traiettoria di qualunque oggetto che sia in orbita attorno a un corpo celeste.
Dice che il raggio vettore che dal Sole va a un pianeta spazza aree uguali in intervalli di tempo eguali.
Come conseguenza, il moto di un pianeta è più veloce nella parte di orbita più vicina al Sole, cioè al perielio.
Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell’orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione è lo stesso per tutti i pianeti.
Proposta da Isaac Newton, stabilisce che la forza attrattiva $F$ che si esercita tra due corpi di masse $m_1$ e $m_2$, posti a distanza $r$ tra loro, è direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza
Triplicando una delle masse, la forza triplica. Triplicando la distanza, la forza diventa nove volte meno intensa.
È la costante di proporzionalità che compra nell’espressione della legge della gravitazione universale di Newton. Il suo valore numerico
è stato misurato con precisione per la prima volta nel 1798 da Henry Cavendish mediante la bilancia a torsione. È il valore di $G$ che insieme alla massa $M_T$ e al raggio $r_T$ della Terra, determina il valore dell’accelerazione di gravità sulla superficie terrestre:
Il fatto che il valore di $G$ sia così piccolo nel Sistema Internazionale spiega come mai non avvertiamo una forza gravitazionale attrattiva neppure quando siamo in presenza di masse molto grandi (per esempio quella di una montagna).
È ciascuna delle grandezze, indicate con $m$, che compaiono nella legge della gravitazione universale di Newton. Descrive l’intensità con cui un oggetto attira altri corpi o è attratto da essi. Gli esperimenti mostrano che la massa gravitazionale di un corpo è sempre direttamente proporzionale alla sua massa inerziale, per cui queste grandezze possono essere misurate con la stessa unità di misura (che nel Sistema Internazionale è il kilogrammo).
Un oggetto difficile da accelerare (grande massa inerziale) è sempre attirato dalla Terra con una forza intensa (grande massa gravitazionale). Un oggetto facile da accelerare (massa inerziale piccola) è sempre attirato dalla Terra con una forza debole (massa gravitazionale piccola).
Perché un satellite possa rimanere in un’orbita circolare a distanza $r$ dal centro della Terra deve avere una velocità data dalla formula
dove $M_T$ è la massa della Terra.
Secondo questa formula, se non esistesse l’attrito con l’aria, un proiettile sparato sulla superficie terrestre in direzione orizzontale entrerebbe in orbita se avesse una velocità iniziale $v \cong 7850 m/s$
È quella particolare orbita circolare che viene descritta in un giorno; in questo modo la posizione del satellite rispetto alla Terra non cambia. Corrisponde a un’altitudine di circa 35 800 km rispetto alla superficie terrestre.
I satelliti meteorologici e quelli per le comunicazioni si trovano in orbite geostazionarie.
È la parte di spazio in cui si risente l’effetto gravitazionale di un determinato sistema di masse.
Si introduce per caratterizzare in modo quantitativo le caratteristiche di un dato campo gravitazionale. Il vettore campo gravitazionale in un dato punto $P$ è definito dalla relazione
dove $m$ è una massa di prova che poniamo in $P$ e $\vec F$ è la forza complessiva esercitata su $m$ dalle masse che generano il campo che ci interessa studiare.
In ogni punto di un campo gravitazionale, il vettore $\vec g$ è l’accelerazione impartita dalla forza di gravità a una massa che si trovi in tale punto.
L’energia potenziale di due masse puntiformi $m$ e $M$, poste a distanza $r$ tra loro, che si attraggono con la forza di Newton, ha la forma
dove $k$ è una costante arbitraria che ha le dimensioni fisiche di un’energia. La convenzione più comune consiste nel porre $k = 0$, per cui si ottiene
Scegliere $k = 0$ equivale a dire che l’energia potenziale del sistema formato dalle due masse $m$ e $M$ è posta eguale a zero quando le due masse si trovano a distanza infinita.
È definita come la massa $m$ di un corpo divisa per il volume $V$ che esso occupa:
Dipende dal materiale di cui è fatto il corpo (e dalla sua temperatura). Nel Sistema Internazionale si misura in kg/m3.
Una sfera di legno è meno pesante di una sfera di piombo che ha le stesse dimensioni perché la densità del legno è molto minore di quella del piombo.
Una forza di modulo $F$, che agisce in direzione perpendicolare su una superficie di area $S$, esercita una pressione $p$ data da
La pressione è una grandezza scalare. Nel Sistema Internazionale si misura in N/m2, unità di misura che si chiama anche pascal (Pa).
Quando piantiamo un chiodo la forza esercitata dal martello si concentra sulla piccola superficie della punta. Quindi la pressione è molto grande e il chiodo penetra nel legno con facilità.
Unità di misura della pressione nel Sistema Internazionale. Equivale a 1 N/m2. Per misurare la pressione atmosferica i meteorologi usano il millibar: 1 mbar = 102 Pa.
Una persona che pesa 70 kg esercita sulle suole delle proprie scarpe una pressione di circa 25000 Pa.
Afferma che la pressione che viene esercitata su una superficie qualsiasi di un liquido si trasmette con la stessa intensità su ogni superficie a contatto con il liquido, indipendentemente da come questa è orientata.
Il torchio idraulico e i freni delle automobili funzionano in base alla legge di Pascal.
È formato da due cilindri di sezioni molto diverse, collegati tra loro e riempiti con un liquido (di solito un olio minerale). Nei cilindri scorrono degli stantuffi a tenuta stagna.
Funziona come una leva, perché permette di equilibrare una grande forza esercitandone una molto più piccola.
La pressione $p$ esercitata da uno strato di liquido è direttamente proporzionale alla profondità $h$ dello strato, alla densità $\rho$ del liquido e all’accelerazione di gravità $g$:
Lo spessore di una diga aumenta andando dall’alto in basso. Ciò è dovuto al fatto che la pressione dell’acqua contenuta aumenta a mano a mano che aumenta la profondità e quindi le pareti della diga, che devono compensare tale pressione, devono diventare via via più spesse.
Si tratta di diversi contenitori collegati tra loro da un tubo di comunicazione. Un liquido che riempie un sistema di vasi comunicanti raggiunge ovunque la stessa quota. Due liquidi immiscibili che sono versati in due vasi comunicanti raggiungono quote che sono inversamente proporzionali alla loro densità.
Il sistema idrico di un acquedotto è un insieme di vasi comunicanti: l’acqua che è contenuta in un serbatoio sopraelevato si distribuisce in tutti i tubi e può risalire all’interno di un edificio, senza usare pompe, fino a una quota eguale a quella a cui si trova il serbatoio.
Un corpo immerso in un liquido è soggetto a una forza rivolta verso l’alto (spinta di Archimede) di intensità eguale al peso del liquido spostato. Se indichiamo la densità del liquido con $\rho$ e il volume spostato con $V$, la forza è
Issarci con le braccia su un muro alto quanto noi non è facile. Però uscire dalla vasca della piscina senza scaletta è molto più facile, perché la forza delle nostra braccia si aggiunge alla spinta di Archimede esercitata sul nostro corpo dall’acqua.
È la pressione esercitata dal peso dell’atmosfera che ci sovrasta. In condizioni normali e al livello del mare è uguale alla pressione esercitata da una colonna di mercurio alta 76 cm e vale 1,013 x 105 Pa, cioè 1013 mbar.
Nei “vasi sotto vuoto” per svitare il coperchio è necessaria una certa forza, perché la pressione atmosferica preme sulla parte esterna del coperchio e lo spinge contro la bocca del vasetto.
È una linea ideale, disegnata su una carta meteorologica, che unisce punti nei quali la pressione atmosferica è uguale.
È uno strumento che misura la pressione atmosferica.
Anche l’altimetro utilizzato dagli alpinisti è un barometro. In questo caso però, la scala dello strumento è tarata direttamente in metri. Essi indicano la quota che corrisponde alla pressione misurata dal barometro.
È uno strumento che misura la pressione del gas racchiuso in un recipiente
Lo strumento che misura la quantità d’aria che rimane nella bombola di un sub è un manometro.
Movimento ordinato di un fluido
Il vento è un esempio di corrente nell’aria. Gli spruzzi sollevati da un bambino che gioca in una piscina non costituiscono, invece, una corrente.
Si ha quando, in ogni punto del condotto, la portata della corrente non varia al trascorrere del tempo.
Grandezza fisica che esprime il volume di liquido che attraversa la sezione di una conduttura nell’unità di tempo. Per un volume $\Delta V$ di liquido che passa attraverso una sezione del condotto in un intervallo di tempo $\Delta t$ , la portata $q$ è definita dalla formula
Se la velocità del fluido (mediata sulla sezione del condotto) è $v$ e l’area trasversale della conduttura è $S$, si dimostra che, in una corrente stazionaria, vale la relazione
Aprendo o chiudendo un rubinetto, aumentiamo o diminuiamo la portata dell’acqua che ne esce.
Esprime il fatto che il volume di una parte di liquido incompressibile non varia mentre si muove lungo un condotto. È descritta dalla formula
Le grandezze che compaiono in questa formula sono la sezione trasversale $S$ della conduttura e la velocità media $v$ del liquido in due zone $A$ e $B$ qualunque nel condotto.
Descrive il comportamento di un fluido non viscoso soggetto all’azione della forza-peso. Viene espressa sotto forma di una legge di conservazione
oppure
cioè è costante ($K$), dove $\rho$ è la densità, $p$ la pressione, $v$ la velocità e $y$ la quota del fluido rispetto a un piano orizzontale preso come riferimento.
In un tratto di una conduttura orizzontale, nella quale la velocità di un fluido aumenta, la pressione diminuisce e viceversa. Questo segue dall’equazione
che si ricava dall’equazione di Bernoulli.
La forza $F$ necessaria per mantenere a una velocità $v$ uno strato di fluido di area $S$ che si trova a distanza $d$ da una parete immobile è data da
La costante di proporzionalità $\eta$, che dipende dal fluido e dalla temperatura a cui esso si trova, si chiama coefficiente di viscosità. Nel Sistema Internazionale si misura in $Pa \cdot s$.
Se il coefficiente di viscosità dell’acqua fosse uguale a zero, questa non aderirebbe agli oggetti. Ciò significa che non bagnerebbe.
È la forza $F_v$ che si esercita su un corpo che si muove in un fluido con velocità $v$ (non troppo elevata). Se questo oggetto è una sfera di raggio $r$, la formula che descrive tale forza è
se l’oggetto ha una forma diversa, la legge diventa
dove $k$ dipende dalla forma geometrica del corpo.
Nel rallentare e arrestare le oscillazioni di un pendolo, la forza di attrito viscoso del pendolo con l’aria è, in genere, molto più rilevante della forza di attrito radente che si esercita tra il filo del pendolo e il gancio a cui questo è appeso. A questa forza si applica la formula di Stokes.
È la velocità per la quale la forza di attrito agente su un corpo che cade in un mezzo viscoso è uguale alla forza-peso del corpo stesso. Per una sfera è data dalla formula
Se facciamo cadere un piombino da pesca in un recipiente trasparente pieno di glicerina, possiamo controllare che il piombino accelera per un tempo molto breve e poi scende con velocità costante. Questa è la sua velocità limite nella glicerina.