Geometria dello spazio

La geometria euclidea nello spazio

Rette e piani

  • Due rette nello spazio sono complanari se appartengono allo stesso piano, sono sghembe se appartengono a piani diversi; sono parallele se sono complanari e non si intersecano oppure coincidono.
  • Due piani sono paralleli se non hanno punti in comune o se sono coincidenti, sono incidenti se hanno in comune una sola retta
  • Relativamente a un piano uno retta può essere:
    • appartenente al piano se tutti i suoi punti appartengono al piano
    • parallela al piano se non lo interseca
    • incidente se lo interseca in un solo punto $P$; in particolare è perpendicolare al piano se è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per $P$

Si verifica poi che se una retta è perpendicolare a due rette del piano passanti per $P$, è perpendicolare anche a tutte le altre e quindi al piano.

  • Per la relazione di perpendicolarità tra una retta e un piano vale il teorema delle tre perpendicolari: sia $r$ una retta perpendicolare a un piano $\alpha$ in un punto $P$; sia $t$ una retta qualunque di $\alpha$ e sia $s$ la retta perpendicolare condotta da $P$ su $t$. Allora $t$ è perpendicolare al piano $\beta$ definito da $r$ e da $s$.

Diedri e angoloidi

Relativamente ai diedri e agli angoloidi si può dire che:

  • due semipiani che hanno origine in comune dividono lo spazio in due angoli diedri dei quali uno è concavo e l’altro è convesso
  • ogni piano che interseca un diedro definisce un angolo che rappresenta la sezione di diedro; se il piano è perpendicolare allo spigolo del diedro si parla di sezione normale; la misura di un diedro è la misura della sua sezione normale
  • due piani sono perpendicolari se sono incidenti e formano diedri retti
  • le smirette che, uscnedo da un punto $P$, intersecano i lati di un poligono appartenente ad un piano che non contiene $P$ definiscono una superficie piramidale, la parte di spazio delimitata da una superficie piramidale si chiama $angoloide$
  • un angoloide che ha tre facce si chiama triedro ed ha la caratteristica che ciascuna faccia è minore della somma delle altre due e maggiore della loro differenza

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Poliedri

Poliedro è la figura solida delimitata da un numero finito di poligoni (almeno quattro) appartenenti a piani diversi, in modo che abbiano un lato in comune e nessuno di essi tagli il solido.

Un poliedro si dice regolare se le sue facce sono poligoni regolari e se tutti i suoi diedri sono congruenti. I poliedri regolari sono cinque:

  • il triedro, l’ottaedro e l’icosaedro che hanno per facce triangoli equilateri
  • cubo che ha per facce dei quadrati
  • dodecaedro che ha per facce pentagoni regolari

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Altri poliedri sono:

  • il prisma, che ha come basi due poligoni paralleli e congruenti e come facce laterali dei parallelogrammi. In particolare:
    • un prisma che ha per basi due parallelogrammi si chiama parallelepipedo
    • un prisma le cui facce sono perpendicolari ai piani di base è un prisma retto
  • la piramide, che ha come base un poligono e come facce laterali dei triangoli che convergono in un vertice $V$. In particolare, la piramide si dice:
    • retta se la sua base si può circoscrivere ad una circonferenza il cui centro è la proiezione del vertice $V$ sul piano di base
    • regolare se è retta e se il poligono di base è un poligono regolare

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Solidi di rotazione

Un solido è di rotazione se si ottiene facendo ruotare una figura piana attorno a una retta. I principali solidi di rotazione sono:

  • il cilindro, generato dalla rotazione completa di un rettangolo attorno alla retta di un suo lato
  • il cono, generato dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno alla retta di un suo cateto
  • la sfera, generata dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro

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Le superfici dei poliedri

Per calcolare la misura della superficie di un poliedro basta sviluppare tale superficie in un piano e calcolare le aree dei poligoni così ottenuti: in questo modo, con lo stesso significato dei simboli usato nel testo (in particolare $p$ è il semiperimetro), si ottengono le seguenti formule:

  • prisma: $S_t = 2S_b + 2ph$
  • piramide retta: $S_t = S_b + pa$
  • tronco di piramide retta: $S_t = a (p’ + p) + A + A’$
  • cubo: $S_t = 6 s^2$
  • tetraedro regolare: $S_t = \sqrt{3} s^2$
  • ottaedro regolare: $S_t = 2 \sqrt{3} s^2$
  • icosaendro regolare: $S_t = 5 \sqrt{3} s^2$
  • dodecaedro regolare: $S_t = 3 s^2 \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}$

Le superfici dei solidi di rotazione

Le seguenti formule esprimono la misura dell’area delle superfici dei principali solidi di rotazione:

  • cilindro: $S_l = 2 \pi rh \quad S_b = \pi r^2 \quad S_t= 2 \pi r(h + r)$
  • cono: $S_l = \pi ra \quad S_b = \pi r^2 \quad S_t = \pi r(a + r)$
  • tronco di cono: $S_t = \pi a(r + R) + \pi r^2 + \pi R^2$
  • sfera: $S_t = 4 \pi r^2$

Volumi ed equivalenza nello spazio

Il volume di un solido è la caratteristica comune a tutti i solidi che hanno la medesima estensione spaziale; l’unità di misura dei volumi è il cubo di lato unitario. Si dimostra che:

  • i volumi di parallelepipedi rettangoli che hanno basi congruenti sono proporzionali alle rispettive altezze
  • il volume di un parallelepipedo rettangolo di dimensioni $a, \space b, \space c$ è dato dalla formula $V = abc$

Due solidi si dicono equivalenti se hanno la stessa estensione. Il principio di Cavalieri enuncia un criterio per stabilire se due solidi sono equivalenti:

  • se due solidi si possono disporre in modo che risultino equivalenti tutte le loro sezioni con piani paralleli al piano della base, allora essi sono equivalenti

In base a questo principio si dimostra che:

  • due prismi sono equivalenti se hanno le basi equivalenti ed altezze congruenti
  • due piramidi sono equivalenti se hanno basi equivalenti e altezze congruenti
  • una piramide è equivalente alla terza parte di un prisma che ha la base equivalente a quella della piramide e della stessa altezza
  • un cilindro è equivalente a un prisma che ha la base equivalente a quella del cilindro e la stessa altezza
  • un cono è equivalente a una piramide che ha la base equivalente a quella del cono e la stessa altezza
  • una sfera è equivalente all’anticlessidra

Misure dei volumi

In base ai teoremi di equivalenza si ricavano le seguenti formule per il calcolo dei volumi:

  • prisma: $V= S_b h$
  • piramide: $V= \dfrac{1}{3} S_b h$
  • tronco di piramide: $V= \dfrac{1}{3} h (B + b + \sqrt{bB})$
  • cilindro: $V= \pi r?2 h$
  • cono: $V= \dfrac{1}{3} \pi r^2 h$
  • tronco di cono: $V= \dfrac{1}{3} \pi h (r^2 + R^2 + rR)$
  • sfera: $V= \dfrac{4}{3} \pi r^3$