Geometria
I primi elementi e i triangoli
Termini primitivi assiomi
I termini primitivi della geometria euclidea sono punto, retta e piano e di tali termini non si deve perciò dare una definizione. Le loro caratteristiche sono tuttavia indicate implicitamente da una serie di assiomi, proposizioni delle quali si stabilisce la verità a priori. Gli assiomi della geometria euclidea indicano:
- l’appartenenza di oggetti geometrici ad altri oggetti geometrici:
- due punti dello spazio appartengono ad una sola retta
- tre punti non allineati appartengono ad un solo piano
- se due punti di una retta appartengono a un piano, la retta stessa appartiene al piano
- la possibilità di fissare un ordinamento dei punti su una retta orientata e di stabilire che qualsiasi retta:
- è illimitata
- contiene infiniti punti
- la possibilità di ripartire i punti di un piano in due regioni distinte mediante una retta in modo che, per passare da una regione all’altra, occorre necessariamente intersecare la retta
- la possibilità di trasportare segmenti e angoli nel piano conservando lunghezze e ampiezze.
Le proprietà degli oggetti geometrici che si possono dedurre dagli assiomi sono invece dei teoremi e per accertarne la verità occorre condurre la loro dimostrazione.
Segmenti e angoli
I termini primitivi e gli assiomi consentono di dare le prime definizioni.
- Segmento AB è la parte di retta delimitata dai punti A e B che sono gli estremi del segmento; due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune, sono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.
IMMAGINE segmenti consecutivi
IMMAGINE segmenti adiacenti
- Angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette aventi l’origine in comune; tali semirette costituiscono i lati dell’angolo.
L’angolo che non contiene il prolungamento dei lati è convesso, quello che li contiene è concavo.
Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice e un lato in comune e se gli altri due lati si trovano da parti opposte rispetto a quello comune, sono adiacenti se sono consecutivi e se i lati non comuni appartengono alla stessa retta.
Due angoli convessi sono opposti al vertice se i lati del primo sono i prolungamenti di quelli del secondo.
IMMAGINI angolo convesso; concavo; consecutivi, adiacenti, opposti al vertice
La congruenza
Due figure $F_1$ e $F_2$ sono congruenti, e si scrive $F_1 \cong F_2$, se esiste un movimento rigido mediante il quale ogni punto di $F_1$ si sovrappone ad uno e un solo punto di $F_2$.
Attraverso la relazione di congruenza si può definire:
- la lunghezza di un segmento come la caratteristica comune ai segmenti fra loro congruenti
- l’ampiezza di un angolo come la caratteristica comune agli angoli fra loro congruenti
In particolare abbiamo chiamato:
- punto medio di un segmento il punto che lo divide in due parti congruenti
- bisettrice di un angolo la semiretta uscente dal vertice che lo divide in due angoli congruenti.
I poligoni
Un poligono è la parte di piano delimitata da una poligonale chiusa; un poligono è convesso se qualunque segmento che unisce due punti interni
appartiene interamente al poligono, concavo in caso contrario.
Un poligono di tre lati si chiama triangolo.
IMMAGINI poligono convesso; concavo
La congruenza dei triangoli
Si può riconoscere la congruenza di due triangoli in base ad alcuni criteri:
- primo criterio: i due triangoli devono avere ordinatamente congruenti due lati e l’angolo fra essi compreso
- secondo criterio: i due triangoli devono avere ordinatamente congruenti un lato e i due angoli ad esso adiacenti
- terzo criterio: i due triangoli devono avere ordinatamente congruenti i tre lati.
IMMAGINI criteri congruenza triangoli
La classificazione dei triangoli
I triangoli si possono classificare:
IMMAGINI TIPI DI TRIANGOLO
Relazioni fra lati e angoli di un triangolo
In un triangolo valgono le seguenti relazioni fra lati e angoli:
- ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti
- al lato maggiore sta opposto l’angolo maggiore e, reciprocamente, all’angolo maggiore sta opposto il lato maggiore
- ciascun lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
Parallelismo e perpendicolarità nel piano
Due rette sono perpendicolari se intersecandosi formano quattro angoli fra loro congruenti, quindi retti.
La perpendicolare ad una retta $r$ condotta da un punto $P$ (appartenente o no a $r$) esiste sempre ed è unica.
Il concetto di perpendicolarità permette di introdurre le seguenti definizioni:
- distanza di un punto $P$ da una retta $r$ è il segmento di perpendicolare condotto da P su r;
- asse di un segmento è la retta ad esso perpendicolare passante per il suo punto medio; ogni punto dell’asse è equidistante dagli estremi del segmento.
Relativamente ai triangoli vale poi la seguente proprietà:
- in ogni triangolo isoscele l’altezza e la mediana relative alla base e la bisettrice dell’angolo al vertice coincidono.
IMMAGINI rette perpendicolari; distanza punto-retta; asse segmento
Le rette parallele e le proprietà
Due rette sono parallele se coincidono oppure se non si intersecano.
Una proprietà delle rette parallele è che, tagliate da una trasversale, formano:
- angoli alterni congruenti
- angoli corrispondenti congruenti
- angoli coniugati supplementari.
Viceversa, per stabilire se due rette sono parallele basta verificare che esse formino con una trasversale:
- una coppia di angoli alterni congruenti, oppure
- una coppia di angoli corrispondenti congruenti, oppure
- una coppia di angoli coniugati supplementari.
Le conseguenze nei poligoni
Relativamente ai triangoli:
- ciascun angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli interni ad esso non adiacenti
- la somma degli angoli interni è congruente a un angolo piatto
- due triangoli sono congruenti se hanno due angoli e un lato ordinatamente congruenti.
Relativamente ai poligoni convessi:
- la somma degli angoli interni è uguale a $n - 2$ angoli piatti (con $n$ uguale al numero dei lati del poligono)
- la somma degli angoli esterni è sempre uguale a due angoli piatti (anche per il triangolo).
Relativamente agli angoli:
- due angoli che hanno entrambi i lati paralleli e concordi oppure paralleli e discordi sono congruenti
- due angoli che hanno una coppia di lati paralleli e concordi e l’altra paralleli e discordi sono supplementari.
La congruenza nei triangoli rettangoli
Poiché tutti i triangoli rettangoli hanno almeno un angolo congruente, quello retto, si può concludere che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due elementi, di cui almeno uno deve essere un lato; in particolare:
- i due cateti
- l’ipotenusa e un cateto
- un cateto e un angolo acuto
- l’ipotenusa e un angolo acuto.
Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano; essa viene stabilita assegnando una legge (che è una funzione) che indica i modi in cui i punti si corrispondono.
In una trasformazione chiamiamo:
- punti uniti i punti che hanno per trasformati se stessi
- invarianti le caratteristiche delle figure che non cambiano dopo l’applicazione della trasformazione.
Le isometrie
Le trasformazioni che lasciano invariate le lunghezze dei segmenti si dicono isometrie. Le
isometrie fondamentali sono:
- la simmetria assiale, definita rispetto ad una retta $r$ (l’asse di simmetria), che ad ogni punto $P$ di un piano associa il punto ${P}‘$ che si costruisce in questo modo:
- si traccia da $P$ la perpendicolare a $r$ che la incontra in $H$
- si prende su di essa il punto ${P}‘$ nel semipiano opposto rispetto a $P$ tale cha sia ${P}‘H \cong PH$
- la simmetria centrale, definita rispetto ad un punto $O$ (il centro di simmetria), che ad ogni punto $P$ di un piano associa il punto ${P}‘$ che si costruisce in questo modo:
- si traccia la retta $OP$
- si prende il punto ${P}‘$ sulla semiretta di origine $O$ opposta rispetto a $P$ tale che sia ${P}‘O \cong PO$
- la traslazione, definita da un vettore $\vec v$, che ad ogni punto $P$ di un piano associa il punto ${P}‘$ che è il secondo estremo del vettore $\vec v$ quando il primo estremo coincide con $P$
- la rotazione, definita assegnando un punto $O$ (il centro di rotazione) ed un angolo orientato , che ad ogni punto $P$ associa il punto ${P}‘$ tale che $OP \cong O{P}‘$ e $\widehat{POP’}$ orientamento e la stessa ampiezza di $\alpha$.
I parallelogrammi
Un parallelogramma è un quadrilatero che ha un centro di simmetria e quindi
possiede le seguenti proprietà:
- ha i lati opposti paralleli e congruenti
- ha gli angoli opposti congruenti e gli angoli adiacenti supplementari
- le diagonali si incontrano nel punto medio.
Condizioni per individuare un parallelogramma
Per riconoscere se un quadrilatero è un parallelogramma, oltre ad applicare la definizione, si può verificare che abbia una delle seguenti caratteristiche:
- i lati opposti paralleli
- una coppia di lati opposti congruenti e paralleli
- i lati opposti congruenti
- le diagonali che si incontrano nel punto medio
- gli angoli opposti congruenti oppure quelli adiacenti supplementari.
I parallelogrammi particolari
- Il rettangolo è un parallelogramma con gli angoli retti; le sue diagonali sono congruenti
- Il rombo è un parallelogramma con i lati congruenti; le sue diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli
- Il quadrato è un parallelogramma con i lati congruenti e gli angoli retti e che quindi, riunendo in sè le caratteristiche del rettangolo e del rombo, ha le diagonali congruenti, perpendicolari e bisettrici degli angoli.
Le medesime proprietà possono essere invertite per riconoscere se un parallelogramma è un rettangolo, un rombo oppure un quadrato.
I parallelogrammi e le isometrie
Tutti i parallelogrammi hanno un centro di simmetria ma, se non sono parallelogrammi particolari, non hanno assi di
simmetria. I soli a possedere assi di simmetria sono:
- il rettangolo, che ha per assi le rette perpendicolari a due lati opposti e passanti per il loro punto medio
- il rombo, che ha come assi le rette delle diagonali
- il quadrato, che ha come assi quelli del rombo e quelli del rettangolo.
Il trapezio
Un trapezio è un quadrilatero che ha una coppia di lati paralleli che si dicono basi; i lati non paralleli si chiamano lati obliqui. Se capita che:
- i lati obliqui sono disuguali, il trapezio è scaleno
- i lati obliqui sono congruenti, il trapezio è isoscele
- uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi, il trapezio è rettangolo.
In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti alle basi sono congruenti e anche le diagonali sono congruenti.
La corrispondenza di Talete
Se un fascio di rette parallele interseca una trasverale $r$ nei punti $A, B, C, …$ e una
trasversale s nei punti $A’ , B’ , C’ , …$ fra i due insiemi di punti si stabilisce una corrispondenza biunivoca che si chiama corrispondenza parallela di Talete. In tale corrispondenza, a segmenti congruenti sulla prima trasversale corrispondono segmenti congruenti sulla seconda trasversale.
Le conseguenze di questo teorema applicate ai triangoli sono le seguenti:
- se per il punto medio di un lato si traccia la parallela ad un altro lato, questa taglia il terzo lato nel suo punto medio
- il segmento che unisce i punti medi di due lati e
È parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.
La circonferenza e i poligoni
I luoghi geometrici
Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli gli oggetti geometrici che hanno una stessa proprietà p; in particolare, si parla di luogo di punti quando gli oggetti sono dei punti. Fra i luoghi di punti ricordiamo:
- l’asse di un segmento: luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento
- la bisettrice di un angolo: luogo dei punti equidistanti dai lati dell’angolo
La circonferenza e il cerchio
La circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso che si chiama centro; la distanza dal centro comune a tutti i punti è il raggio. Il cerchio è invece il luogo dei punti che hanno distanza dal centro minore o uguale al raggio; esso è quindi la figura convessa che ha come contorno la circonferenza.
Queste figure sono le figure simmetriche per eccellenza perché hanno:
- un centro di simmetria: il centro della circonferenza
- infiniti assi di simmetria: qualunque retta che passa per il centro.
Si dimostra poi che per individuare una circonferenza sono necessari e sufficienti tre punti non allineati.
Elementi di una circonferenza
In una circonferenza si possono individuare alcuni elementi:
- le corde, sono i segmenti che hanno per estremi due punti della circonferenza; la corda che passa per il centro si chiama diametro
- gli archi, sono le parti di circonferenza delimitate da due suoi punti
- gli angoli al centro, sono gli angoli che hanno il vertice nel centro della circonferenza.
Si verifica che:
- ad archi congruenti corrispondono corde e angoli al centro rispettivamente congruenti
- corde che hanno uguale distanza dal centro sono congruenti e viceversa.
Posizioni reciproche di rette e circonferenze
In uno stesso piano, una retta e una circonferenza non possono avere più di due punti in comune; indicata con $d$ la distanza del cen-
tro della circonferenza dalla retta e con $r$ il
raggio si ha che la retta:
* è secante se $d < r$
* è tangente se $d \cong r$
* è esterna se $d > r$
Relativamente alle rette tangenti si può inoltre dire che:
- ogni retta tangente è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza
- se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono le due rette ad essa tangenti, i segmenti di tangenza sono congruenti e la retta che unisce il punto esterno con il centro è bisettrice dell’angolo formato dalle due tangenti.
Angoli alla circonferenza e angoli al centro
Ciascun angolo che ha il vertice sulla circonferenza e per lati due semirette secanti oppure una semiretta secante e
l’altra tangente si dice angolo alla circonferenza.
Ad ogni angolo alla circonferenza $\alpha$ corrisponde un angolo al centro che ha il vertice nel centro della circonferenza e insiste sullo stesso arco su cui insiste $\alpha$. L’angolo al centro è sempre il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza; di conseguenza, tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono fra loro congruenti. In particolare, angoli che insistono su una semicirconferenza sono retti.
Poligoni inscritti e circoscritti
Un poligono si dice:
- inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza; la circonferenza, a sua volta, si dice circoscritta al poligono.
Condizione necessaria e sufficiente affinché un poligono sia inscrittibile in una circonferenza è che gli assi dei suoi lati si intersechino in uno stesso punto che è il centro della circonferenza
- circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza che, a sua volta, si dice inscritta nel poligono; il raggio della circonferenza è l’apotema del poligono.
Condizione necessaria e sufficiente affinché un poligono sia circoscrittibile ad una circonferenza è che le bisettrici dei suoi angoli si intersechino in uno stesso punto che è il centro della circonferenza.
Relativamente ai quadrilateri valgono poi le seguenti proprietà:
- un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari
- un quadrilatero è circoscrittibile a una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.
Mostra grafico dell'approssimazione fra aree dei poligoni e del cerchio
Poligoni regolari
Un poligono si dice regolare se ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro congruenti. Se un poligono è regolare, allora:
- ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati
- ha un centro di simmetria solo se ha un numero pari di lati
- è sempre inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza e le due circonferenze inscritta e circoscritta hanno lo stesso centro.
Punti notevoli dei triangoli
In ogni triangolo:
- gli assi dei lati si intersecano in uno stesso punto chiamato circocentro che è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo
- le bisettrici degli angoli si intersecano in uno stesso punto chiamato incentro che è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo
- le altezze si intersecano in uno stesso punto chiamato ortocentro
- le mediane si incontrano in uno stesso punto detto baricentro; il baricentro divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell’altra.
Il triangolo è quindi il solo poligono che è sempre sia inscrittibile che circoscrittibile a una circonferenza.