La funzione $y = a^x$ (con $a > 0 \space \wedge \space a \neq 1$) si chiama funzione esponenziale ed è definita $\forall x \in \mathbb{R}$; il suo grafico è una funzione crescente se $a > 1$, decrescente se $0 < a < 1$; in ogni caso tutte le funzioni esponenziali passano per il punto di coordinate $(0, \space 1)$. Data la curva esponenziale di equazione $y = a^x$
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Chiamiamo logaritmo in base $a$ di un numero reale positivo $b$ l’esponente $c$ che si deve dare ad $a$ per avere $b$; vale cioè la seguente corrispondenza di scritture (con $a > 0 \space \wedge \space a \neq 1$)
In base alla definizione si ha anche che:
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La funzione $y = \log_a x$ (con $a > 0 \space \wedge \space a \neq 1$) si chiama funzione logaritmica ed è definita $x > 0$; il suo grafico si può ottenere da quello della funzione esponenziale per simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante ed è una funzione crescente se $a > 1$, secrescente se $0 < a < 1$; in ogni caso tutte le funzioni logaritmiche passano per il punto di coordinate $(1, \space 0)$.
Data la curva logaritmica di equazione $y = \log_a x$:
Valgono le seguenti proprietà dei logaritmi, supposto che $a$, $b$, $c$ siano numeri reali positivi (con $a \neq 1$):
Per passare da un sistema di logaritmi in base $a$ ad un sistema di logaritmi in base $c$ si applica la formula
In sistemi di logaritmi di uso più comune sono quelli in base 10 indicati con il simbolo $\log$ e quelli naturali indicati con il simbolo $\ln$.
Un’equazione si dice esponenziale se l’incognita compare nell’esponente di qualche potenza.
Il metodo di risoluzione di un’equazione esponenziale dipende dalla forma di quest’ultima:
Qualunque equazione non elementare può essere ricondotta a una o più di tipo elementare applicando in modo opportuno le proprietà delle potenze.
In particolare se l’equazione assume la forma
si opera la sostituzione $a^x = t$ con la quale l’equazione assume la forma polinomiale:
Risolta questa equazione, si opera poi la sostituzione inversa e si risolvono le equazioni esponenziali elementari ottenute.
Per risolvere una disequazione esponenziale nella forma $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ si deve tener conto della seguente regola:
Un’equazione si dice logaritmica se l’incognita compare nell’argomento di un logaritmo. In tal caso il dominio dell’equazione si determina imponendo che l’argomento di ciascuno dei logaritmi sia positivo.
Il metodo di risoluzione di un’equazione logaritmica dipende dalla forma di quest’ultima:
In pratica se due logaritmi hanno la stessa vase, dopo aver posto le condizioni di esistenza, basta uguagliare i due argomenti.
Qualunque equazione non elementare può essere ricondotta a una o più di questa forma applicando in modo opportuno le proprietà dei logaritmi.
In particolare se l’equazione ha la forma
si opera la sostituzione $\log_a x = t$ con la quale l’equazione assume la forma polinomiale:
Risolta questa equazione, si opera la sostituzione inversa e si risolvono le equazioni logaritmiche elementari ottenute.
Per risolvere una disequazione logaritmica nella forma $\log_a f(x) > \log_a g(x)$, poste le condizioni di esistenza dei due logaritmi, si deve tener conto della seguente regola:
Un’equazione o una disequazione della forma
si può risolvere mediante il confronto grafico delle funzioni al primo e al secondo membro delle due relazioni: