Gli angoli si possono misurare in gradi oppure in radianti: * se α è un angolo al centro di una circonferenza di raggio r che insiste su un arco AB:
Considerata la circonferenza goniometrica (avente centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e raggio unitario) ed un angolo α avente vertice nell’origine e un lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse, si definisce: * sinα l’ordinata del punto P * cosα l’ascissa del punto P * tanα l’ordinata del punto Q
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La funzione y=sinx è periodica di periodo 2π ed il suo grafico:
§IMMAGINE§
La funzione y=cosx è periodica di periodo 2π ed il suo grafico:
§IMMAGINE§
La funzione y=tanx è periodica di periodo π ed il suo grafico:
§IMMAGINE§
Le relazioni fondamentali che legano le funzioni goniometriche sono:
Da esse si ricavano le formule di: * sinα in funzione di cosα: sinα=±√1−cos2α * sinα in funzione di tanα: sinα=±tanα√1+tan2α * cosα in funzione di sinα: sinα=±√1−sin2α * cosα in funzione di tanα: sinα=±1√1+tan2α
La seconda relazione fondamentale consente poi di stabilire che il coefficiente angolare di una retta rappresenta la tangente dell’angolo α che essa forma con la direzione positiva dell’asse x: m=tanα.
Si definiscono poi le seguenti funzioni che prendono il nome di cofunzioni goniometriche: * secα=1cosα * cscα=1sinα * cotα=cosαsinα ed è ∀α≠kπ2 * cotα=1tanα
Gli angoli associati ad un angolo α sono quelli che hanno i valori delle funzioni goniometriche complessivamente uguali a quelli di α. Per ricavare i valori del seno, del coseno e della tangente di tali angoli basta ricordare i seguenti disegni:
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sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1↔1−2sin2α
tan2α=2tanα1−tan2α
∀α≠π+2kπ: * sinα=2tanα21+tan2α2 * cosα=1−tan2α21+tan2α2 * tanα=2tan2α21−tan2α2
I triangoli rettangoli godono delle proprietà enunciate dai seguenti teoremi: * Primo Teorema. In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per * il seno dell’angolo opposto: b=asinβ e c=asinγ * il coseno dell’angolo adiacente: b=acosγ e c=acosβ
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Le conseguenze immediate dei due precedenti teoremi sono le seguenti: * l’area di un triangolo qualsiasi si può trovare calcolando il semiprodotto della misura di due lati per il seno dell’angolo fra essi compreso:
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Per i triangoli di qualsiasi tipo valgono i seguenti teoremi: * Teorema dei seni:
Le funzioni inverse della goniometriche fondamentali sono: * y=arcsinx definita in [−1, 1] con codominio [−π2, π2] * y=arccosx definita in [−1, 1] con codominio [0, π] * y=arctanx definita in [−∞, +∞] con codominio (−π2, π2)
Accanto a queste ricordiamo anche l’inversa della funzione cotangente: * y=arccot x definita in [−∞, +∞] con codominio (0, π)
In generale, un’equazione goniometrica si può sempre ricondurre alla risoluzione di una o più equazioni elementari della forma: * sinx=a con −1≤a≤1 * cosx=b con −1≤b≤1 * tanx=c con c∈R
Ciascuna di queste equazioni ha infinite soluzioni che differiscono fra loro per il periodo della funzione; tenendo presente l’intervallo di inversione delle funzioni goniometriche e indicando con α l’angolo appartenente a tale intervallo, le soluzioni si possono scrivere nei seguenti modi: * sinx=a se α=arcsina: x=α+2kπ ∨ x=(π−α)+2kπ * cosx=b se α=arccosb: x=α+2kπ ∨ x=−α+2kπ * tanx=c se α=arctanc: x=α+kπ
Un’equazione lineare assume la forma: asinx+bcosx+c=0 * Se c=0, e solo in questo caso, si può dividere per cosx ottenendo l’equazione elementare equivalente: atanx+b=0 * Se c≠0 si possono seguire diversi metodi: * usare le formule parametriche verificando preventivamente se x=π+2kπ è soluzione dell’equazione * utilizzare il metodo del sistema associato all’equazione l’identità sinx2x+cos2x=1:
<div align="center">
$\begin{cases} a \sin x + b \cos x + c = 0 \\ \sin x^2 x + \cos^2 x = 1 \end{cases}$
</div>
* utilizzare il medodo grafico ponendo nel precedente sistema $sin x = Y$ e $\cos x = X$:
<div align="center">
$\begin{cases} a Y + b X + c = 0 \\ X^2 + Y = 1 \end{cases}$
</div>
Le soluzioni sono rappresentate dalle intersezioni della circonferenza avente centro nell'origine e raggio $1$ con la retta di equazione $a Y + b X + c = 0$.
Un’equazione omogenea di secondo grado ha la forma: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0
Per risolverla si divide per cos2x ottenendo l’equazione equivalente atan2x+btanx+c=0
Questo metodo non si può applicare se a=0 perché vengono eliminate delle soluzioni; in questo caso l’equazione diventa bsinxcosx+ccos2x=0 e si può: * raccogliere cosx; quindi cosx(bsinx+ccosx)=0 * dividere per sin2x se c≠0: bcotx+ccot2x=0
L’equazione asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d si trasforma in un’omogenea moltiplicando d per 1 cioè per sinx2x+cos2x:
asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d(sinx2x+cos2x)
Per risolvere una disequazione elementare in una delle forme sinx≶k, cosx≶k o tanx≶k, si ricorre alla circonferenza goniometrica individuando gli archi per i quali la funzione al primo membro soddisfa la disequazione.
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Per risolvere una disequazione goniometrica frazionaria oppure un sistema di disequazionigoniometriche si usano gli stessi metodi applicati per le analoghe disequazioni algebriche. È però conveniente usare delle tabelle circolari al posto di quelle lineari
Per risolvere una disequazione lineare si possono usare gli stessi metodi utilizzati per la risoluzione delle analoghe equazioni; in particolare il motodo grafico risulta spesso più conveniente.
Occorre poi fare attenzione alle disequazioni in cui non c’è il termine noto, che assumono quindi la forma asinx+bcosx≶0 perché in questo caso non si può dividere per cosx senza ulteriori analisi del suo segno.
Per risolvere una disequazione omogenea di secondo grado si divide per cos2x e si risolve la corrispondente disequazione di secondo grado in tangente. Occorre però verificare se π2+kπ fa parte dell’insieme delle soluzioni.