Gli angoli si possono misurare in gradi oppure in radianti: * se $\alpha$ è un angolo al centro di una circonferenza di raggio $r$ che insiste su un arco $AB$:
Considerata la circonferenza goniometrica (avente centro nell’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e raggio unitario) ed un angolo $\alpha$ avente vertice nell’origine e un lato coincidente con il semiasse positivo delle ascisse, si definisce: * $\sin \alpha$ l’ordinata del punto $P$ * $\cos \alpha$ l’ascissa del punto $P$ * $\tan \alpha$ l’ordinata del punto $Q$
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La funzione $y = \sin x$ è periodica di periodo $2 \pi$ ed il suo grafico:
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La funzione $y = \cos x$ è periodica di periodo $2 \pi$ ed il suo grafico:
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La funzione $y = \tan x$ è periodica di periodo $\pi$ ed il suo grafico:
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Le relazioni fondamentali che legano le funzioni goniometriche sono:
Da esse si ricavano le formule di: * $\sin \alpha$ in funzione di $\cos \alpha$: $\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$ * $\sin \alpha$ in funzione di $\tan \alpha$: $\sin \alpha = \pm \dfrac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}$ * $\cos \alpha$ in funzione di $\sin \alpha$: $\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$ * $\cos \alpha$ in funzione di $\tan \alpha$: $\sin \alpha = \pm \dfrac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}$
La seconda relazione fondamentale consente poi di stabilire che il coefficiente angolare di una retta rappresenta la tangente dell’angolo $\alpha$ che essa forma con la direzione positiva dell’asse $x$: $m = \tan \alpha$.
Si definiscono poi le seguenti funzioni che prendono il nome di cofunzioni goniometriche: * $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha}$ * $\csc \alpha = \dfrac{1}{\sin \alpha}$ * $\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ ed è $\forall \alpha \neq k \dfrac{\pi}{2}$ * $\cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha}$
Gli angoli associati ad un angolo $\alpha$ sono quelli che hanno i valori delle funzioni goniometriche complessivamente uguali a quelli di $\alpha$. Per ricavare i valori del seno, del coseno e della tangente di tali angoli basta ricordare i seguenti disegni:
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$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$\cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1 \leftrightarrow 1 - 2 \sin^2 \alpha$
$\tan 2 \alpha = \dfrac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$
$\forall \alpha \neq \pi + 2k \pi$: * $\sin \alpha = \dfrac{2 \tan{\dfrac{\alpha}{2}}}{1 + \tan^2{\dfrac{\alpha}{2}}}$ * $\cos \alpha = \dfrac{1 - \tan^2{\dfrac{\alpha}{2}}}{1 + \tan^2{\dfrac{\alpha}{2}}}$ * $\tan \alpha = \dfrac{2 \tan^2{\dfrac{\alpha}{2}}}{1 - \tan^2{\dfrac{\alpha}{2}}}$
I triangoli rettangoli godono delle proprietà enunciate dai seguenti teoremi: * Primo Teorema. In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per * il seno dell’angolo opposto: $b = a \sin \beta$ e $c = a \sin \gamma$ * il coseno dell’angolo adiacente: $b = a \cos \gamma$ e $c = a \cos \beta$
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Le conseguenze immediate dei due precedenti teoremi sono le seguenti: * l’area di un triangolo qualsiasi si può trovare calcolando il semiprodotto della misura di due lati per il seno dell’angolo fra essi compreso:
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Per i triangoli di qualsiasi tipo valgono i seguenti teoremi: * Teorema dei seni:
Le funzioni inverse della goniometriche fondamentali sono: * $y = \arcsin x$ definita in $[ -1, \space 1]$ con codominio $\left [ - \dfrac{\pi}{2}, \space \dfrac{\pi}{2} \right ]$ * $y = \arccos x$ definita in $[ -1, \space 1]$ con codominio $[0, \space \pi]$ * $y = \arctan x$ definita in $[ - \infty, \space + \infty]$ con codominio $\left ( - \dfrac{\pi}{2}, \space \dfrac{\pi}{2} \right )$
Accanto a queste ricordiamo anche l’inversa della funzione cotangente: * $y = \textrm{arccot} \space x$ definita in $[ - \infty, \space + \infty]$ con codominio $(0, \space \pi)$
In generale, un’equazione goniometrica si può sempre ricondurre alla risoluzione di una o più equazioni elementari della forma: * $\sin x = a$ con $-1 \leq a \leq 1$ * $\cos x = b$ con $-1 \leq b \leq 1$ * $\tan x = c$ con $c \in \mathbb{R}$
Ciascuna di queste equazioni ha infinite soluzioni che differiscono fra loro per il periodo della funzione; tenendo presente l’intervallo di inversione delle funzioni goniometriche e indicando con $\alpha$ l’angolo appartenente a tale intervallo, le soluzioni si possono scrivere nei seguenti modi: * $\sin x = a$ se $\alpha = \arcsin a: \space x = \alpha + 2k \pi \space \vee \space x = (\pi - \alpha) + 2k \pi$ * $\cos x = b$ se $\alpha = \arccos b: \space x = \alpha + 2k \pi \space \vee \space x = - \alpha + 2k \pi$ * $\tan x = c$ se $\alpha = \arctan c: \space x = \alpha + k \pi$
Un’equazione lineare assume la forma: $a \sin x + b \cos x + c = 0$ * Se $c = 0$, e solo in questo caso, si può dividere per $\cos x$ ottenendo l’equazione elementare equivalente: $a \tan x + b = 0$ * Se $c \neq 0$ si possono seguire diversi metodi: * usare le formule parametriche verificando preventivamente se $x = \pi + 2k \pi$ è soluzione dell’equazione * utilizzare il metodo del sistema associato all’equazione l’identità $\sin x^2 x + \cos^2 x = 1$:
<div align="center">
$\begin{cases} a \sin x + b \cos x + c = 0 \\ \sin x^2 x + \cos^2 x = 1 \end{cases}$
</div>
* utilizzare il medodo grafico ponendo nel precedente sistema $sin x = Y$ e $\cos x = X$:
<div align="center">
$\begin{cases} a Y + b X + c = 0 \\ X^2 + Y = 1 \end{cases}$
</div>
Le soluzioni sono rappresentate dalle intersezioni della circonferenza avente centro nell'origine e raggio $1$ con la retta di equazione $a Y + b X + c = 0$.
Un’equazione omogenea di secondo grado ha la forma: $a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0$
Per risolverla si divide per $cos^2 x$ ottenendo l’equazione equivalente $a \tan^2 x + b tan x + c = 0$
Questo metodo non si può applicare se $a = 0$ perché vengono eliminate delle soluzioni; in questo caso l’equazione diventa $b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0$ e si può: * raccogliere $\cos x$; quindi $\cos x (b \sin x + c cos x) = 0$ * dividere per $\sin^2 x$ se $c \neq 0$: $b \cot x + c \cot^2 x = 0$
L’equazione $a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = d$ si trasforma in un’omogenea moltiplicando $d$ per $1$ cioè per $\sin x^2 x + \cos^2 x$:
$a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = d(\sin x^2 x + \cos^2 x)$
Per risolvere una disequazione elementare in una delle forme $\sin x \lessgtr k$, $\cos x \lessgtr k$ o $\tan x \lessgtr k$, si ricorre alla circonferenza goniometrica individuando gli archi per i quali la funzione al primo membro soddisfa la disequazione.
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Per risolvere una disequazione goniometrica frazionaria oppure un sistema di disequazionigoniometriche si usano gli stessi metodi applicati per le analoghe disequazioni algebriche. È però conveniente usare delle tabelle circolari al posto di quelle lineari
Per risolvere una disequazione lineare si possono usare gli stessi metodi utilizzati per la risoluzione delle analoghe equazioni; in particolare il motodo grafico risulta spesso più conveniente.
Occorre poi fare attenzione alle disequazioni in cui non c’è il termine noto, che assumono quindi la forma $a \sin x + b \cos x \lessgtr 0$ perché in questo caso non si può dividere per $\cos x$ senza ulteriori analisi del suo segno.
Per risolvere una disequazione omogenea di secondo grado si divide per $\cos^2 x$ e si risolve la corrispondente disequazione di secondo grado in tangente. Occorre però verificare se $\dfrac{\pi}{2} + k \pi$ fa parte dell’insieme delle soluzioni.