Si chiama unità immaginaria il numero che si indica con il simbolo i e che è caratterizzato dalla relazione i2=−1.
Un numero immaginario è il prodotto di un numero reale per l’unità immaginaria
La somma di un numero reale con un numero immaginario dà luogo ad un numero complesso; un numero complesso ha quindi la forma a+ib.
Le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione tra numeri complessi seguono le regole del calcolo algebrico letterale tenendo presente che i2=−1.
L’operazione di divisione si esegue applicando la proprietà invariantiva, moltiplicando sia il dividendo che il divisore per il complesso coniugato del divisore:
L’unità immaginaria consente di calcolare le radici quadrate dei numeri negativi: ad esempio √−4=±2i
Nell’insieme dei numeri complessi un’equazione di grado n ammette sempre n soluzioni, se ciascuna viene contanta con la sua molteplicità. In particolare, un’equazione di secondo grado ammette sempre 2 soluzioni che sono: * reali e distinte se Δ>0 * reali e coincidenti se Δ=0 * complesse e coniugate se Δ<0
Si può inoltre affermare che un’equazione di grado dispari ammette sempre almeno una soluzione reale.
Un numero complesso z=a+ib si può rappresentare graficamente nel piano di Gauss riportando la parte reale a sull’asse delle ascisse (asse reale) e il coefficiente b della parte immaginaria sull’asse delle ordinate (asse immaginario).
Ad ogni numero complesso z si può quindi associare un punto P di coordinate (a, b) o anche un vettore v di componenti (a, b).
§IMMAGINE§
Ad ogni numero complesso z=a+ib si può associare una forma trigonometrica:
dove ρ rappresenta il modulo del numero complesso e ϑ la sua anomalia.
Fra i numeri a e b della forma algebrica e quelli ρ e ϑ della forma trigonometrica sussistono le seguenti realzioni: * a e b in funzione di ρ e ϑ:
Le operazioni di moltiplicazione, divisione e potenza si possono eseguire in modo semplice mediante la forma trigonometrica; dati due numeri complessi z1=ρ1(cosϑ1+isinϑ1) e z2=ρ2(cosϑ2+isinϑ2) si procede in questo modo: * prodotto: si moltiplicano i moduli e si sommano le anomalie: z1⋅z2=ρ1⋅ρ1[cos(ϑ1+ϑ2)isin(ϑ1+ϑ2)] * quoziente: si dividono i moduli e si sottraggono le anomalie: z1z2=ρ1ρ2[cos(ϑ1−ϑ2)+isin(ϑ1−ϑ2)] * potenza n-esima: si eleva a potenza n il modulo ρ e si moltiplica per n l’anomalia ϑ: zn=ρ2(cosnϑ+isinnϑ) (formula di De Moivre)
Ogni numero complesso z=(ρ, ϑ) ha n radici n-esime che si esprimono con la formula:
Attraverso il calcolo delle radici n-esime di un numero complesso si possono trovare le n soluzioni di equazione algebrica di grado n.
Posto eiϑcosϑ+isinϑ, un numero complesso ha anche una forma esponenziale: z=ρ⋅eiϑ
Per eseguire prodotti, quozienti e potenze di numeri complessi in forma esponenziale, si applicano le proprietà delle potenze; dati z1=ρ1⋅eiϑ1 e z2=ρ2⋅eiϑ2 si ha che:
Dalla forma esponenziale di un numero complesso, si ricavano le seguenti formule di Eulero: