Si chiama unità immaginaria il numero che si indica con il simbolo $i$ e che è caratterizzato dalla relazione $i^2 = -1$.
Un numero immaginario è il prodotto di un numero reale per l’unità immaginaria
La somma di un numero reale con un numero immaginario dà luogo ad un numero complesso; un numero complesso ha quindi la forma $a + ib$.
Le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione tra numeri complessi seguono le regole del calcolo algebrico letterale tenendo presente che $i^2 = -1$.
L’operazione di divisione si esegue applicando la proprietà invariantiva, moltiplicando sia il dividendo che il divisore per il complesso coniugato del divisore:
L’unità immaginaria consente di calcolare le radici quadrate dei numeri negativi: ad esempio $\sqrt{-4} = \pm 2i$
Nell’insieme dei numeri complessi un’equazione di grado $n$ ammette sempre $n$ soluzioni, se ciascuna viene contanta con la sua molteplicità. In particolare, un’equazione di secondo grado ammette sempre 2 soluzioni che sono: * reali e distinte se $\Delta > 0$ * reali e coincidenti se $\Delta = 0$ * complesse e coniugate se $\Delta < 0$
Si può inoltre affermare che un’equazione di grado dispari ammette sempre almeno una soluzione reale.
Un numero complesso $z = a + ib$ si può rappresentare graficamente nel piano di Gauss riportando la parte reale $a$ sull’asse delle ascisse (asse reale) e il coefficiente $b$ della parte immaginaria sull’asse delle ordinate (asse immaginario).
Ad ogni numero complesso $z$ si può quindi associare un punto $P$ di coordinate $(a, \space b)$ o anche un vettore $v$ di componenti $(a, \space b)$.
§IMMAGINE§
Ad ogni numero complesso $z = a + ib$ si può associare una forma trigonometrica:
dove $\rho$ rappresenta il modulo del numero complesso e $\vartheta$ la sua anomalia.
Fra i numeri $a$ e $b$ della forma algebrica e quelli $\rho$ e $\vartheta$ della forma trigonometrica sussistono le seguenti realzioni: * $a$ e $b$ in funzione di $\rho$ e $\vartheta$:
Le operazioni di moltiplicazione, divisione e potenza si possono eseguire in modo semplice mediante la forma trigonometrica; dati due numeri complessi $z_1 = \rho_1 (\cos \vartheta_1 + i \sin \vartheta_1)$ e $z_2 = \rho_2 (\cos \vartheta_2 + i \sin \vartheta_2)$ si procede in questo modo: * prodotto: si moltiplicano i moduli e si sommano le anomalie: $z_1 \cdot z_2 = \rho_1 \cdot \rho_1[cos(\vartheta_1 + \vartheta_2) i \sin (\vartheta_1 + \vartheta_2)]$ * quoziente: si dividono i moduli e si sottraggono le anomalie: $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{\rho_1}{\rho_2} [\cos (\vartheta_1 - \vartheta_2) + i \sin (\vartheta_1 - \vartheta_2)]$ * potenza $n$-esima: si eleva a potenza $n$ il modulo $\rho$ e si moltiplica per $n$ l’anomalia $\vartheta$: $z^n = \rho^2 (\cos n \vartheta + i \sin n \vartheta)$ (formula di De Moivre)
Ogni numero complesso $z = (\rho, \space \vartheta)$ ha $n$ radici $n$-esime che si esprimono con la formula:
Attraverso il calcolo delle radici $n$-esime di un numero complesso si possono trovare le $n$ soluzioni di equazione algebrica di grado $n$.
Posto $e^{i \vartheta} \cos \vartheta + i \sin \vartheta$, un numero complesso ha anche una forma esponenziale: $z = \rho \cdot e^{i \vartheta}$
Per eseguire prodotti, quozienti e potenze di numeri complessi in forma esponenziale, si applicano le proprietà delle potenze; dati $z_1 = \rho_1 \cdot e^{i \vartheta_1}$ e $z_2 = \rho_2 \cdot e^{i \vartheta_2}$ si ha che:
Dalla forma esponenziale di un numero complesso, si ricavano le seguenti formule di Eulero: