Un insieme $\mathbb{E}$ di numeri reali si dice: * limitato superiormente se esiste un numero $k$, non necessariamente appartenente a $E$, che è maggiore di tutti gli elementi di $E$ * limitato inferiormente se esiste un numero $h$, non necessariamente appartenente a $E$, che è minore di tutti gli elementi di $E$
Un insieme che è limitato sia inferiormente che superiormente si dice semplicemente limitato. * L’estremo inferiore di un insieme $E$ è il più grande dei numeri $h$ e, se appartiene all’insieme, è il minimo di $E$ * L’estremo superiore di un insieme $E$ è il più piccolo dei numeri $k$ e, se appartiene all’insieme, è il massimo di $E$
Si chiama intervello un qualunque insieme di numeri reali compresi fra altri due $a$ e $b$, dove $a$ o $b$ possono essere finiti o infiniti. In particolare: * $(a, \space b)$ è un intervallo aperto che corrisponde all’insieme degli $x$ tali che $a < x < b$ * $[a, \space b]$ è un intervallo chiuso che corrisponde all’insieme degli $x$ tali che $a \leq x \leq b$
In pratica, la parentesi tonda indica che l’estremo dell’intervallo non appartiene all’insieme, la parentesi quadra indica che gli appartiene; sui simboli di $\infty$ si usa solo la parentesi tonda.
Intorno di un punto $x_0$ è ogni intervallo aperto che contiene $x_0$ al suo interno; intorno di $ + \infty$ è un qualunque intervallo del tipo $(a, \space + \infty)$, intorno di $ - \infty$ è un qualunque intervallo del tipo $( - \infty, \space b)$, intorno di infinito è l’unione di un intorno $ + \infty$ con un intorno $ - \infty$.
Un punto $x_0$ si dice di accumulazione per un insieme $E$ se ogni intorno di $x_0$ contiene infiniti punti di $E$.
Una funzione è una corrispondenza univoca fra un insieme $D$ di elementi $x$ ed un insieme $E$ di elementi $y$, cioè una legge che ad ogni elementi di $D$ associa uno e un solo elemento di $E$.
Se $D$ ed $E$ sono insieme numerici, la legge che $y$ ad $x$ su può esprimere mediante una relazione algebrica nella forma $y = f(x)$.
L’elemento $y$ che corrisponde ad un particolare $x$ si dice immagine di $x$; l’insieme delle immagini è il codominio della funzione.
Ogni elemento $x$ che resta associato ad un elemento $y$ si dice controimmagine; l’insieme delle controimmagini rappresenta l’insieme di definizione della funzione.
Una funzione $f: \space D \to E$ si dice: * surietiva se $f(D) = E$ * iniettiva se a elementi distinti in $D$ corrispondono elementi distinti in $E$ * biiettiva se è iniettiva e suriettiva
Le funzioni biiettive sono corrispondenze biunivoche e sono le sole funzioni invertibili
Se una funzione $f(x)$ è definita in un punto $x_0$ e si verifica che: * $f(x_0) \geq f(x)$ per ogni $x$ del dominio, allora si dice che $x_0$ è un punto di massimo assoluto e che $f(x_0)$ è il massimo assoluto della funzione * $f(x_0) \leq f(x)$ per ogni $x$ del dominio, allora si dice che $x_0$ è un punto di minimo assoluto e che $f(x_0)$ è il minimo assoluto della funzione
Una funzione $f(x)$ di dominio $D$ è: * monotòna crescente in un intervallo $I \subseteq D$ se $\forall x_1, \space x_2 \in I$ con $x_1 < x_2$ si ha che $f(x_1) < f(x_2)$. Se in quest’ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioè se $f(x_1) \leq f(x_2)$, allora la funzione monotòna non descrescente, cioè in pratica cresce o tutt’al più si mantiene costante, ma non descresce mai * monotòna decrescente in un intervallo $I \subseteq D$ se $\forall x_1, \space x_2 \in I$ con $x_1 < x_2$ si ha che $f(x_1) > f(x_2)$. Se in quest’ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioè se $f(x_1) \geq f(x_2)$, allora la funzione monotòna non crescente, cioè in pratica decresce o tutt’al più si mantiene costante, ma non cresce mai * pari se $f( - x) = f(x)$ ed allora il suo grafico presenta una simmetria rispetto all’asse $y$ * dispari se $f(x) = - f(x)$ ed allora il suo grafico presenta una simmetria rispetto all’origine * periodica di periodo $k$ se $f(x + k) = f(x)$, in particolare: * $\sin kx$ e $\cos kx$ sono periodiche di periodo $\dfrac{2 \pi}{k}$ * $\tan kx$ e $\cot kx$ sono periodiche di periodo $\dfrac{\pi}{k}$
Una funzione ha per limite un numero $l$ finito per $x \to c$ (con $c$ finito o infinito) se la disequazione $|f(x) - l | < \varepsilon$ ha fra le sue soluzioni un intorno di $c$.
Una funzione ha per limite $\infty$ per $x \to c$ (con $c$ finito o infinito) se la disequazione $|f(x)| > M$ è verificata in un intorno di $c$.
Una funzione $f(x)$ possiede: * asintoto orizzontale di equazione $y = l$ se $\lim\limits{x \to \infty} f(x) = l$ * asintoto verticale di equazione $x = c$ se $\lim\limits{x \to c} f(x) = \infty$
Se $\lim\limits{x \to c} f(x) = l$ e $\lim\limits{x \to c} g(x) = l’$ e $l$ e $l’$ sono due valori finiti, allora: * $\lim\limits{x \to c} [f(x) \pm g(x)] = l \pm l’$ * $\lim\limits{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = l \cdot l’$ * $\lim\limits{x \to c} k \cdot f(x) = k \cdot f(x)$ con $k \in \mathbb{R}$ * $\lim\limits{x \to c} [f(x)] ^n = l^n$ * $\lim\limits_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{l}{l’}$ se $l’ \neq 0$
Nel calcolo di un limite, generalmente quando $c$ è infinito oppure i limiti $l$ e $l’$ sono nulli, si può giungere a quelle si chiamano forme di indeterminazione che sono: * $( + \infty) - (+ \infty)$ * $( + \infty) + (- \infty)$ * $0 \cdot (\pm \infty)$ * $\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$ * $\dfrac{0}{0}$ * $1^{\pm \infty}$ * $0^0$ * $(\pm \infty) ^0$
Per risolvere alcune di queste forme occorre tenere presenti queste regole: * il limite per $x \to \infty$ di un polinomio è uguale al limite del termine di grado massimo:
e si ha che: * se $k > h$ il limite vale $\infty$ * se $k = h$ il limite vale $\dfrac{a_0}{b_0}$ * se $k < h$ il limite vale $0$
Valgono i seguenti limiti notevoli: * $\lim\limits{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ e $\lim\limits{x \to c} \dfrac{\sin f(x)}{f(x)} = 1$ quando $f(x) \to 0$ per $x \to c$ * $\lim\limits{x \to \infty} \left ( 1 + \dfrac{1}{x} \right) ^x = e$ e $\lim\limits{x \to c} \left ( 1 + \dfrac{1}{f(x)} \right) ^{f(x)} = e$ quando $f(x) \to \infty$ per $x \to c$
Si dice che: * la funzione $y = f(x)$ è un infinitesimo per $x \to c$ se $\lim\limits{x \to c} f(x) = 0$ * la funzione $y = f(x)$ è un infinito per $x \to c$ se $\lim\limits{x \to c} f(x) = \infty$
Di due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ entrambe infinitesime per $x \to c$ diciamo che: * $f(x)$ è di ordine superiore a $g(x)$ se $\lim\limits{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$ * $f(x)$ è dello stesso ordine di $g(x)$ se $\lim\limits{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = l \neq 0$ * $f(x)$ è di ordine inferiore a $g(x)$ se $\lim\limits_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \infty$
Di due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ entrambe infinite per $x \to c$ diciamo che: * $f(x)$ è di ordine superiore a $g(x)$ se $\lim\limits{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \infty$ * $f(x)$ è dello stesso ordine di $g(x)$ se $\lim\limits{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = l \neq 0$ * $f(x)$ è di ordine inferiore a $g(x)$ se $\lim\limits_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$
Una successione è una funzione che ha come dominio l’insieme $\mathbb{N}$ dei numeri naturali. I suoi termini si possono rappresentare:
mediante una formula ricorsiva definita in questo modo:
$a_0$ è valore del primo termine della successione
$a_n$ è regola che esprime $a_0$ in funzione di $a _{n-1}$
Una successione può essere:
convergente se $\lim\limits _{n \to + \infty} a_n = l$ cioè se $\forall \varepsilon > 0$ esiste un indice $\nu$ tale che $\forall n > \nu$ sia $|a_n - l| < \varepsilon$
divergente se $\lim\limits _{n \to + \infty} a_n = + \infty$ $\lim\limits _{n \to + \infty} a_n = - \infty$ cioè se, $\forall M > 0$, esiste un indice $\nu$ tale che $\forall n > \nu$ sia rispettivamente $a_n > M$ o $a_n < - M$
irregolare se né converge né diverge
Per il calcolo del limite di una successione valgono teoremi analoghi a quelli per i limiti delle funzioni di numeri reali.
Una funzione $f(x)$ definita in un insieme $D$ è continua in un punto $x_0 \in D$ e di accumulazione per $D$ se $\lim\limits _{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
Quindi per vedere se una funzione è continua in $x_0$ si deve: * calcolare $f(x_0)$ * calcolare $\lim\limits _{x \to x_0} f(x)$ * verificare che i due valori trovati coincidano
Se due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ sono continue nel punto $x_0$ allora sono continue in $x_0$ anche le funzioni: * $- f(x)$ e $|f(x)|$ * $f(x) \pm g(x)$ * $f(x) \cdot g(x)$ e in particolare $k f(x)$ e $[f(x)] ^n$ * $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ e in particolare $\dfrac{1}{g(x)}$ se $g(x_0) \neq 0$
Se una funzione non è continua un un punto $x_0$ si dice $x_0$ è un punto di discontinuità o anche che è un punto singolare.
I punti di discontinuità si possono classificare con il seguente criterio: * discontinuità di prima specie se il limite sinistro e il limite destro sono finiti ma diversi:
Le proprietà delle funzioni continue sono elencate dai seguenti teoremi: * permanenza del segno: se una funzione è continua in un punto $x_0$ e $f(x_0) \neq 0$, esiste un intorno di tale punto in cui la funzione assume lo stesso segno di $f(x)$ * esistenza degli zeri: se una funzione $f(x)$ è continua in un intervallo $[ a, \space b ]$ e se $f(a)$ e $f(b)$ hanno segno opposto, allora esiste almeno un punto interno ad $[ a, \space b ]$ in cui la funzione si annulla * di Weierstrass: se una funzione $f(x)$ è continua in un intervallo $[ a, \space b ]$, essa è limitata in tale intervallo ed esiste almeno un punto in cui assume il valore massimo ed almeno un punto in cui assume il valore minimo * di Bolzano-Darboux: se una funzione $f(x)$ è continua in un intervallo chiuso e limitato $[ a, \space b ]$ e se $x_1$ e $x_2$ sono due punti di tale intervallo tali che $f(x_1) \neq f(x_2)$, allora la funzione assume almeno una volta tutti i valori compresi fra $f(x_1)$ e $f(x_2)$ al variare di $x$ in $(x_1, \space x_2)$
Dagli ultimi due teoremi si deduce poi che se $f(x)$ è continua in $[ a, \space b ]$, allora assume almeno una volta ciascun valore compreso tra il minimo e il massimo.
Una funzione $f(x)$ di dominio $D$: * ha un asintoto verticale di equazione $x = x_0$ se $\lim\limits _{x \to x_0} f(x) = \infty$ * ha un asintoto orizzontale di equazione $y = l$ se $\lim\limits _{x \to \infty} = l$ * ha un asintoto obliquo di equazione $y = mx + q$ se esistono finiti i limiti
Il grafico probabile di una funzione $f(x)$ si determina calcolando * l’insieme di definizione $D$ * il comportamento agli estremi $D$ * gli eventuali asintoti * le intersezioni, se esistono, con gli assi cartesiani * il segno * le coordinate di alcuni punti significativi