Un insieme E di numeri reali si dice: * limitato superiormente se esiste un numero k, non necessariamente appartenente a E, che è maggiore di tutti gli elementi di E * limitato inferiormente se esiste un numero h, non necessariamente appartenente a E, che è minore di tutti gli elementi di E
Un insieme che è limitato sia inferiormente che superiormente si dice semplicemente limitato. * L’estremo inferiore di un insieme E è il più grande dei numeri h e, se appartiene all’insieme, è il minimo di E * L’estremo superiore di un insieme E è il più piccolo dei numeri k e, se appartiene all’insieme, è il massimo di E
Si chiama intervello un qualunque insieme di numeri reali compresi fra altri due a e b, dove a o b possono essere finiti o infiniti. In particolare: * (a, b) è un intervallo aperto che corrisponde all’insieme degli x tali che a<x<b * [a, b] è un intervallo chiuso che corrisponde all’insieme degli x tali che a≤x≤b
In pratica, la parentesi tonda indica che l’estremo dell’intervallo non appartiene all’insieme, la parentesi quadra indica che gli appartiene; sui simboli di ∞ si usa solo la parentesi tonda.
Intorno di un punto x0 è ogni intervallo aperto che contiene x0 al suo interno; intorno di +∞ è un qualunque intervallo del tipo (a, +∞), intorno di −∞ è un qualunque intervallo del tipo (−∞, b), intorno di infinito è l’unione di un intorno +∞ con un intorno −∞.
Un punto x0 si dice di accumulazione per un insieme E se ogni intorno di x0 contiene infiniti punti di E.
Una funzione è una corrispondenza univoca fra un insieme D di elementi x ed un insieme E di elementi y, cioè una legge che ad ogni elementi di D associa uno e un solo elemento di E.
Se D ed E sono insieme numerici, la legge che y ad x su può esprimere mediante una relazione algebrica nella forma y=f(x).
L’elemento y che corrisponde ad un particolare x si dice immagine di x; l’insieme delle immagini è il codominio della funzione.
Ogni elemento x che resta associato ad un elemento y si dice controimmagine; l’insieme delle controimmagini rappresenta l’insieme di definizione della funzione.
Una funzione f: D→E si dice: * surietiva se f(D)=E * iniettiva se a elementi distinti in D corrispondono elementi distinti in E * biiettiva se è iniettiva e suriettiva
Le funzioni biiettive sono corrispondenze biunivoche e sono le sole funzioni invertibili
Se una funzione f(x) è definita in un punto x0 e si verifica che: * f(x0)≥f(x) per ogni x del dominio, allora si dice che x0 è un punto di massimo assoluto e che f(x0) è il massimo assoluto della funzione * f(x0)≤f(x) per ogni x del dominio, allora si dice che x0 è un punto di minimo assoluto e che f(x0) è il minimo assoluto della funzione
Una funzione f(x) di dominio D è: * monotòna crescente in un intervallo I⊆D se ∀x1, x2∈I con x1<x2 si ha che f(x1)<f(x2). Se in quest’ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioè se f(x1)≤f(x2), allora la funzione monotòna non descrescente, cioè in pratica cresce o tutt’al più si mantiene costante, ma non descresce mai * monotòna decrescente in un intervallo I⊆D se ∀x1, x2∈I con x1<x2 si ha che f(x1)>f(x2). Se in quest’ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioè se f(x1)≥f(x2), allora la funzione monotòna non crescente, cioè in pratica decresce o tutt’al più si mantiene costante, ma non cresce mai * pari se f(−x)=f(x) ed allora il suo grafico presenta una simmetria rispetto all’asse y * dispari se f(x)=−f(x) ed allora il suo grafico presenta una simmetria rispetto all’origine * periodica di periodo k se f(x+k)=f(x), in particolare: * sinkx e coskx sono periodiche di periodo 2πk * tankx e cotkx sono periodiche di periodo πk
Una funzione ha per limite un numero l finito per x→c (con c finito o infinito) se la disequazione |f(x)−l|<ε ha fra le sue soluzioni un intorno di c.
Una funzione ha per limite ∞ per x→c (con c finito o infinito) se la disequazione |f(x)|>M è verificata in un intorno di c.
Una funzione f(x) possiede: * asintoto orizzontale di equazione y=l se $\lim\limits{x \to \infty} f(x) = l$ * asintoto verticale di equazione x=c se $\lim\limits{x \to c} f(x) = \infty$
Se $\lim\limits{x \to c} f(x) = le\lim\limits{x \to c} g(x) = l’elel’sonoduevalorifiniti,allora:∗\lim\limits{x \to c} f(x)±g(x)
Nel calcolo di un limite, generalmente quando c è infinito oppure i limiti l e l′ sono nulli, si può giungere a quelle si chiamano forme di indeterminazione che sono: * (+∞)−(+∞) * (+∞)+(−∞) * 0⋅(±∞) * ±∞±∞ * 00 * 1±∞ * 00 * (±∞)0
Per risolvere alcune di queste forme occorre tenere presenti queste regole: * il limite per x→∞ di un polinomio è uguale al limite del termine di grado massimo:
e si ha che: * se k>h il limite vale ∞ * se k=h il limite vale a0b0 * se k<h il limite vale 0
Valgono i seguenti limiti notevoli: * $\lim\limits{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1e\lim\limits{x \to c} \dfrac{\sin f(x)}{f(x)} = 1quandof(x) \to 0perx \to c∗\lim\limits{x \to \infty} \left ( 1 + \dfrac{1}{x} \right) ^x = ee\lim\limits{x \to c} \left ( 1 + \dfrac{1}{f(x)} \right) ^{f(x)} = equandof(x) \to \inftyperx \to c$
Si dice che: * la funzione y=f(x) è un infinitesimo per x→c se $\lim\limits{x \to c} f(x) = 0∗lafunzioney = f(x)$ è un infinito per x→c se $\lim\limits{x \to c} f(x) = \infty$
Di due funzioni f(x) e g(x) entrambe infinitesime per x→c diciamo che: * f(x) è di ordine superiore a g(x) se $\lim\limits{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0∗f(x)èdellostessoordinedig(x)se\lim\limits{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = l \neq 0∗f(x)èdiordineinferioreag(x)se\lim\limits_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \infty$
Di due funzioni f(x) e g(x) entrambe infinite per x→c diciamo che: * f(x) è di ordine superiore a g(x) se $\lim\limits{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \infty∗f(x)èdellostessoordinedig(x)se\lim\limits{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = l \neq 0∗f(x)èdiordineinferioreag(x)se\lim\limits_{x \to c} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$
Una successione è una funzione che ha come dominio l’insieme N dei numeri naturali. I suoi termini si possono rappresentare:
mediante una formula ricorsiva definita in questo modo:
a0 è valore del primo termine della successione
an è regola che esprime a0 in funzione di an−1
Una successione può essere:
convergente se limn→+∞an=l cioè se ∀ε>0 esiste un indice ν tale che ∀n>ν sia |an−l|<ε
divergente se limn→+∞an=+∞ limn→+∞an=−∞ cioè se, ∀M>0, esiste un indice ν tale che ∀n>ν sia rispettivamente an>M o an<−M
irregolare se né converge né diverge
Per il calcolo del limite di una successione valgono teoremi analoghi a quelli per i limiti delle funzioni di numeri reali.
Una funzione f(x) definita in un insieme D è continua in un punto x0∈D e di accumulazione per D se limx→x0f(x)=f(x0)
Quindi per vedere se una funzione è continua in x0 si deve: * calcolare f(x0) * calcolare limx→x0f(x) * verificare che i due valori trovati coincidano
Se due funzioni f(x) e g(x) sono continue nel punto x0 allora sono continue in x0 anche le funzioni: * −f(x) e |f(x)| * f(x)±g(x) * f(x)⋅g(x) e in particolare kf(x) e [f(x)]n * f(x)g(x) e in particolare 1g(x) se g(x0)≠0
Se una funzione non è continua un un punto x0 si dice x0 è un punto di discontinuità o anche che è un punto singolare.
I punti di discontinuità si possono classificare con il seguente criterio: * discontinuità di prima specie se il limite sinistro e il limite destro sono finiti ma diversi:
Le proprietà delle funzioni continue sono elencate dai seguenti teoremi: * permanenza del segno: se una funzione è continua in un punto x0 e f(x0)≠0, esiste un intorno di tale punto in cui la funzione assume lo stesso segno di f(x) * esistenza degli zeri: se una funzione f(x) è continua in un intervallo [a, b] e se f(a) e f(b) hanno segno opposto, allora esiste almeno un punto interno ad [a, b] in cui la funzione si annulla * di Weierstrass: se una funzione f(x) è continua in un intervallo [a, b], essa è limitata in tale intervallo ed esiste almeno un punto in cui assume il valore massimo ed almeno un punto in cui assume il valore minimo * di Bolzano-Darboux: se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] e se x1 e x2 sono due punti di tale intervallo tali che f(x1)≠f(x2), allora la funzione assume almeno una volta tutti i valori compresi fra f(x1) e f(x2) al variare di x in (x1, x2)
Dagli ultimi due teoremi si deduce poi che se f(x) è continua in [a, b], allora assume almeno una volta ciascun valore compreso tra il minimo e il massimo.
Una funzione f(x) di dominio D: * ha un asintoto verticale di equazione x=x0 se limx→x0f(x)=∞ * ha un asintoto orizzontale di equazione y=l se limx→∞=l * ha un asintoto obliquo di equazione y=mx+q se esistono finiti i limiti
Il grafico probabile di una funzione f(x) si determina calcolando * l’insieme di definizione D * il comportamento agli estremi D * gli eventuali asintoti * le intersezioni, se esistono, con gli assi cartesiani * il segno * le coordinate di alcuni punti significativi